高二數(shù)學(xué)一元二次不等式及其解法-資料下載頁
2025-08-16 02:12本頁面
【正文】 次函數(shù)的圖象位于 x軸的上方（如圖），這時對于任意的實(shí)數(shù) x，都有 x2－ 2x+30。 1123 1 321Oyx 1123 1 321Oyx 解：對于任意實(shí)數(shù) x， x2－ 2x+3=(x－ 1)2+20， 因此不等式（ 1）的解集為實(shí)數(shù)集 R， 不等式（ 2）無解，或說它的解集為空集 . 通過以上兩例，我們不難對一元二次不等式 ax2+bx+c0 (a0)和 ax2+bx+c0 (a0)解集的形式作 一般性的分析 。 設(shè)方程 ax2+bx+c=0 (a0)的判別式為△。 （ 1） 當(dāng)△ 0時 ，二次方程 ax2+bx+c=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根 x1， x2，（設(shè) x1x2） . 考察這類二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c的圖象，這時， 函數(shù)的零點(diǎn)把 x軸分成三個區(qū)間 (－ ∞， x1)， (x1， x2)， (x2， +∞)， 不等式 ax2+bx+c0的解集是 (－ ∞， x1)∪ (x2， +∞)，不等式 ax2+bx+c0的解集是 (x1， x2). 簡單的說是： 大于在兩邊，小于在中間 。 x2x1Oyx（ 2） 當(dāng)△ =0時 ，通過配方得， b2 aOyx2224( ) ( )2 4 2b a c b by a x a xa a a?? ? ? ? ?由圖可知， ax2+bx+c0的解集是 的全體實(shí)數(shù)，即 ax2+bx+c0的解集是空集，即不等式無解。 2bxa??( , ) ( , )22bbaa? ? ? ? ? ?（ 3）當(dāng) △ 0時，二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象在 x軸上方，由此可知，不等式 ax2+bx+c0的解集是實(shí)數(shù)集R，不等式 ax2+bx+c0的解集是空集。 例 2．解不等式 1－ x－ 4x20. 解：原不等式化為 4x2+x－ 10， 因?yàn)椤?=12－ 4 4 (－ 1)0， 方程 4x2+x－ 1=0的根是 121 1 7 1 1 7,88xx? ? ? ???所以不等式的解集是 1 1 7 1 1 7{ | }88xx? ? ? ???例 3．解不等式 x2+4x+40. 解：因?yàn)椤?=42－ 4 1 4=0， 原不等式化為 (x+2)20， 所以不等式的解集是 {x∈ R| x≠－ 2}. 例 4．解不等式－ 2x2+4x－ 30. 解：原不等式化為 2x2－ 4x+30， 因?yàn)?2x2－ 4x+3=2(x－ 1)2+10， 所以原不等式的解集是 ?例 5．求函數(shù) 的定義域。 22 3( ) 2 3 l o g ( 3 2 )f x x x x x? ? ? ? ? ?解：由函數(shù) f(x)的解析式有意義得 222 3 03 2 0xxxx? ??? ? ? ??≥ 即 ( 2 3 ) ( 1 ) 0( 3 ) ( 1 ) 0xxxx???? ? ? ??≥解得 3 1213xxx? ???? ? ? ??或≤ ≥因此 1≤x3，所求函數(shù)的定義域是 [1， 3).
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