排列組合與概率論初步-資料下載頁(yè)
2025-08-15 23:43本頁(yè)面
【正文】 ???????????knknknnnnnnn ?n1?返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 定義 設(shè) A,B是兩事件 ,如果滿足等式 則稱(chēng)事件 A,B相互獨(dú)立 . 定理 設(shè) A,B是兩事件 ,且 P(B) A,B相 互獨(dú)立 ,則 P(A|B)=P(A),反之亦然 . 定理 若事件 A,B相互獨(dú)立 ,則下列事件也 相互獨(dú)立 : )()()( BPAPABP ?BABABA 和和和 ,返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 證明 :只證明第一個(gè) . )( BBAA ?? ? BAAB ?? ??BAAB ?)()( BAABPAP ??? )()( BAPABP ??)()()( BAPBPAP ??)](1)[()( BPAPBAP ??? )()( BPAP?是相互獨(dú)立和 BA?返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 推廣 : .,,3,2,)2(2121相互獨(dú)立則稱(chēng)事件個(gè)事件概率之積都等于各個(gè)事件的積事件的概率任意個(gè)任意個(gè)如果對(duì)于其中任意個(gè)事件對(duì)nnAAAnAAAnn????.,),()()()(),()()(),()()(),()()(:,3,:3相互獨(dú)立則稱(chēng)等式如果滿足個(gè)事件是個(gè)事件的情況例如CBACPBPAPA B CPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA????返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 例 同時(shí)拋兩個(gè)均勻的正四面體一次 ,每 一個(gè)四面體的面分別標(biāo)有 1,2,3, A為事件 “第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù)” ,B為事件“第二個(gè)四 面體出現(xiàn)奇數(shù)” ,C為事件“兩個(gè)四面體同時(shí)出 現(xiàn)偶數(shù)或同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)” ,驗(yàn)證 A,B,C的獨(dú)立性 . 解 :由已知得 ,這是古典概型 ,有 21168)()()( ???? CPBPAP返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 81)()()( ?CPBPAP )(ABP0)( ?A B CP81)()()( ?CPBPAP., 但兩兩獨(dú)立不相互獨(dú)立故 CBA)()( BPAP?41164 ??)(ACP )()( CPAP?41164 ??)(BCP )()( CPBP?41164 ??.,,)2(2121反之不然兩兩獨(dú)立則相互獨(dú)立個(gè)事件一般地nnAAAAAAnn???返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 例 甲乙兩人各進(jìn)行一次射擊 ,如果兩人 擊中目標(biāo)的概率都是 ,求兩人都擊中目標(biāo)的 概率 . 解 :設(shè) A表示事件“甲射擊一次 ,擊中目標(biāo)” ,B表示事件“乙射擊一次 ,擊中目標(biāo)” .所以 ,所求事件是 AB,根據(jù)題意 ,A與 B相互獨(dú)立 . )()()( BPAPABP ? ???返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 例 有一名射手 ,平均每射 5發(fā)子彈能命中 4發(fā)子彈 ,求 : (1)連射 n發(fā)子彈都未命中的概率 。 (2)要使至少能命中 1發(fā)子彈的概率達(dá)到 上 ,需要射多少發(fā)子彈 . 解 發(fā)子表示“次射擊時(shí)命中”表示“第設(shè) nAiA i ,)1(.,,212121也相互獨(dú)立從而相互獨(dú)立且顯然有彈至少命中一次”nnnAAAAAAAAAA??????返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 )()( 21 nAAAPAP ?? )()()( 21 nAPAPAP ??)541()541)(541( ???? ? n)51(?(2)設(shè)要使至少能命中 1發(fā)子彈的概率達(dá)到 上 ,需要射 n發(fā)子彈 )(1)( APAP ??? n)51(1 ?? ?)51( ?? n 1005lo g?n 3?? n返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 例 在一個(gè)系統(tǒng)中元件能正常工作的概率 稱(chēng)為元件的可靠度 .如圖 ,有 4個(gè)獨(dú)立工作的元 件構(gòu)成一個(gè)串并聯(lián)系統(tǒng) ,且每個(gè)元件的可靠度 為 s,求此系統(tǒng)的可靠度 . 解 : 1 2 3 4 個(gè)元件表示“第設(shè) )4,3,2,1( ?iiA i4321,AAAAAA??則有表示“系統(tǒng)正常工作”正常工作”相互對(duì)立又 4321 , AAAA)4,3,2,1()( ?? isAP i返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 )()( 4321 AAAAPAP ???)()()( 43214321 AAAAPAAPAAP ????)()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP ???422 ss ??返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 獨(dú)立性 例 3個(gè)人獨(dú)立破譯一組密碼 ,他們能譯出 的概率分別是 1/2,1/3,1/ 概率 . 解 : 表示個(gè)人譯出密碼”表示“第設(shè) AiiA i ,)3,2,1( ?相互獨(dú)立且“密碼譯出” 321321 , AAAAAAA ???也相互獨(dú)立所以 321 , AAA)()( 321 AAAPAP ???? )()()(1 321 APAPAP??)611()311()211(1 ??????? 1813?返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 我們把只出現(xiàn)兩種結(jié)果 的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為 貝努里實(shí)驗(yàn)或貝努里模型 . 將一貝努里實(shí)驗(yàn) E在相同條件下獨(dú)立重復(fù) n次 , 每次結(jié)果 A出現(xiàn)的概率 P保持不變 ,我們把這樣 的 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱(chēng)為 n重貝努里實(shí)驗(yàn) . 例 某射擊手射擊一次擊中目標(biāo)的概率是 ,問(wèn)射擊 4次擊中 3次的概率 . AA和返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 解 : .4,3,2,1,?iiAiA ii擊中目標(biāo)”其中次未表示“第次擊中目標(biāo)”表示“第用)( ?iAP? )( iAP? ???即次的組合數(shù)是次中射擊第一步 ,34: 34C4321432143214321 。 AAAAAAAAAAAAAAAA它們相互獨(dú)立第二步 :)( 4321 AAAAP? 343 )( ???343 )( ???)( 4321 AAAAP返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? )( 4321 AAAAP)( 4321 AAAAP343 )( ???343 )( ???個(gè)事件之和為所求它們兩兩互斥，所以第三步 4:34334 )( ????? C 3 4 5 ?定理 在 n重貝努里實(shí)驗(yàn)中 ,事件 A在 n次試 驗(yàn)中發(fā)生 k次的概率為 pqnkqpCkP knkknn ???? ? 1,1,0,)( ?返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 例 一批產(chǎn)品的廢品率為 ,有放回的取 4 件 ,求恰好取的 2件廢品的概率 . 解 :每次的結(jié)果是相互獨(dú)立的 ,有放回的取 4件 , 相當(dāng)于 4重貝努里實(shí)驗(yàn) , 22244 )2( CP ?? 1 5 3 ?返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? 例 一部自動(dòng)化機(jī)器 ,在一個(gè)周期內(nèi)生產(chǎn) 10個(gè)零件 ,任意一個(gè)零件成為廢品的概率為 ,要至少產(chǎn)生出一件廢品的概率不小于 ,需要幾個(gè)周期 ? 解 :設(shè)要 n個(gè)周期 ,在 n個(gè)周期生產(chǎn) 10n個(gè)零件是 相互獨(dú)立的 .用 A表示“在 10n個(gè)零件中至少有 一件廢品” ,用 表示“在 10n個(gè)零件中全部合 格” A返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 (Bernoulli)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ? nnCAP 100010 )()()( ????)(1)( APAP ?? ?? ? g?? n 46?n即至少需要 46個(gè)周期 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 習(xí)題 第六章 排列組合與概率論初步 ? 習(xí)題 (P145) 4 ? 習(xí)題 (P149) 3 ? 習(xí)題 (P154) 7 ? 習(xí)題 (P156) 5 ? 習(xí)題 (P159) 6 ? 習(xí)題 (P160) 5 習(xí)題 : 返回 上一頁(yè) 下一頁(yè) 退出
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