排列與組合的綜合問題-資料下載頁
2025-08-15 23:21本頁面
【正文】 人參加的選法有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 種． 解析： 將問題轉(zhuǎn)化為：將 12 個學(xué)生排成一排， 12 個學(xué)生之間有 11 個空，將 6 個隔板插入 11 個空，每種插法對應(yīng)一種排法，即 “ 隔板法 ” ． 本題把排成一排的 12 個學(xué)生分成 7 份的不同方法有 C611種，即 462 種． 答案： 4 6 2 8 ． 5 名乒乓球隊(duì)員中，有 2 名老隊(duì)員和 3 名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出 3 名隊(duì)員排成 1 , 2 , 3 號參加團(tuán)體比賽，則入選的 3名隊(duì)員中至少有 1 名老隊(duì)員，且 1 , 2 號中至少有 1 名新隊(duì)員的排法有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 種 ( 用數(shù)字作答 ) ． 解析： 依題意可選擇 “ 1 老 2 新 ” 或 “ 2 老 1 新 ” ，又1 號、 2 號中至少有 1 名新隊(duì)員，先選后排，所以總的排法有 C12 C23 A33 ＋ C22 C13 C12 A22 ＝ 4 8 ( 種 ) ． 本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素，后排列． 答案： 48 9 ．某學(xué)校招收的 12 名體育特長生中有 3 名籃球特長生．要將 12 名學(xué)生平均分配到 3 個班中去，每個班都分到1 名籃球特長生的分配方法共有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 種， 3 名籃球特長生被分配到同一個班的分配 方法共有 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 種( 用數(shù)字作答 ) ． 解析： 把不是籃球特長生的 9 名體育特長生平均分配到3 個班共有 C39C36C33種分配方法， 3 名籃球特長生平均分配到 3 個班共有 A33種分配方法，所以將這 12 名學(xué)生平均分配到 3 個班中去，每個班都分到 1 名籃球特長生的分配方法共有 C39C36C33A33種，即 10080 種； 3 名籃球特長生被分配到同一個班 共有 A13種分配方法，然后再分 9 名體育特長生共有C19C48C44種分配方法，所以 3 名籃球特長生被分配到同一個班的分配方法共有 A13C19C48C44種，即 1 8 9 0 種． 可見， “ 分組分配 ” 問題是一種典型的排列組合綜合題，解這類問題的關(guān)鍵在于分組，重復(fù)計(jì)數(shù)是常見錯誤． 答案： 1 0 0 8 0 1 8 9 0 三、解答題 10 ．從－ 3 ，－ 2 ，－ 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 八個數(shù)字中任取 3 個不同的數(shù)字作為二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的系數(shù) a ， b ， c ，問： ( 1 ) 共能組成多少個不同的二次函數(shù)？ ( 2 ) 在這些二次函數(shù)中，圖象關(guān)于 y 軸對稱的有多少個？ 解： ( 1 ) 法一： ( 直接法 —— 優(yōu)先考慮特殊位置 ) ∵ a ≠ 0 ， ∴ 確定二次項(xiàng)系數(shù)有 7 種，確定一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)有 A27種， ∴ 共有 7A27 ＝ 294 個不同的二次函數(shù)． 法二： ( 直接法 —— 優(yōu)先考慮特殊元素 ) a ， b ， c 中不含 0時，有 A37 個； a ， b ， c 中含有 0 時，有 2A27 個，故共有 A37 ＋2A27 ＝ 2 9 4 個不同的二次函數(shù)． 法三： ( 間接法 ) 共可構(gòu)成 A38 個函數(shù)， 其中 a ＝ 0 時有A27 個均不符合要求，從而共有 A38 － A27 ＝ 294 個不同的二次函數(shù)． ( 2 ) 直接法：依題意 b ＝ 0 ，所以共有 A27 ＝ 42 個符合條件的二次函數(shù)． 11 ． 按下列要求把 12 個人分成 3 個小組，各有多少種不同的分法？ ( 1 ) 各組人數(shù)分別為 2 , 4 , 6 人； ( 2 ) 平均分成 3 個小組； ( 3 ) 平均分成 3 個小組，進(jìn)入 3 個不同車間． 解： ( 1 ) C212 C410 C66 ＝ 1 3 8 6 0 . ( 2 )C412 C48 C44A33＝ 5 7 7 5 . ( 3 ) 分兩步：第一步平均分三組；第二步讓三個小組分別進(jìn) 入三個不同車間，故有C412 C48 C44A33A33 ＝ C412 C48 C44 ＝ 3 4 6 5 0 種不同的分法． 12 ． ( 1 ) 將 8 本練習(xí)本分給 5 名學(xué)生，每人至少 1 本，有多少種不同的分法？ ( 2 ) 將 n 個相同的小球分別放入 m 個不同的盒子里( m ≤ n ) ，不允許出現(xiàn)空盒的情況，有多少種不同的放法？ 解： ( 1 ) 把 8 本練習(xí)本排成一行，在它們之 間的 7 個空檔處 ( 不包括左、右兩端 ) 插入 4 塊 “ 隔板 ” ，使 8 本書分成 5份，對應(yīng)分給 5 名學(xué)生．因此，不同的插法就對應(yīng)著不同分法．所以，不同的分法有 C47＝ 35 種． ( 2 ) 將 n 個小球排成一行，并用 ( m － 1) 塊 “ 隔板 ” 將它們隔成 m 段，然后再將各段分別對應(yīng)各個盒子，因此隔法的總數(shù)就是所要求出的分法的總數(shù)．因?yàn)椴荒艹霈F(xiàn)空盒，所以“ 隔板 ” 只能放在 n 個小球之間的間隔位置上，而且每個間隔位置只能放 1 塊 “ 隔板 ” ，所以從 ( n － 1) 個間隔位置上選出 ( m － 1) 個來放置 “ 隔板 ” 應(yīng)有 Cm － 1n － 1種不同的放法．也就是Cm － 1n － 1種符合要求的分球入盒方法．
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