【正文】 點(diǎn) 是橢圓21xyab??與直線 1l的唯一交點(diǎn)； （II）證明: tn,t???構(gòu)成等比數(shù)列.解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾榫C合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本小題滿分 13 分。解：（I） （方法一）由 021xyab??得200(),baxy?代入橢圓21xyab??,得2202221()()bayy???.將 0cosinx?????代入上式,得 22coscs0,xax????從而 ?因此, 方程組2021yabx????有唯一解 0y????,即直線 1l與橢圓有唯一交點(diǎn) P. (方法二) 顯然 P 是橢圓與 1l的交點(diǎn)，若 Q 11(cos,in),2ab?????是橢圓與 1l的交點(diǎn)，代入 1l的方程cosinxyab???，得 1cosi???即 11(),?故 P 與 Q 重合。（方法三）在第一象限內(nèi)，由21xyab??可得 2200,bbaxyax???橢圓在點(diǎn) P 處的切線斜率 00220(),k??切線方程為200(),bxyya???即 021xyab?。因此， 1l就是橢圓在點(diǎn) P 處的切線。 根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P 是橢圓與直線 1l的唯一交點(diǎn)。（II） 0tantan,ybx???1l的斜率為20,xbya?l的斜率為20tantan,yxb???由此得 2tt,??tn,t???構(gòu)成等比數(shù)列。14.（2022 安徽卷文）（本小題滿分 12 分）已知橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心。橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線 y=x+2 相切，（Ⅰ）求 a 與 b； （Ⅱ）設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為 和 ，直線 過(guò) 且與 x 軸垂直，動(dòng)直線 與 y 軸垂直， 交 與點(diǎn) p..求線段 P 垂直平分線與 的交點(diǎn) M 的軌跡方程，并指明曲線類型?！舅悸贰?（1）由橢圓22231xycabeaab????中建立 a、b 等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出 a、b.（2 ）依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了?！窘馕觥?（1）由于 3e ∴2213cea? ∴23? 又 21?? ∴b 2=2,a2=3 因此，3 .b=2a?. （2）由（1）知 F1，F(xiàn) 2兩點(diǎn)分別為（ 1，0） ， （1,0） ，由題意可設(shè) P（1，t）.（t≠0）.那么線段 PF1中點(diǎn)為(0,)tN，設(shè) M(x、y)是所求軌跡上的任意點(diǎn) .由于 (,) (2,)2MNxyFt????????則12tPyt???????????消去參數(shù) t 得 24(0)y?,其軌跡為拋物線（除原點(diǎn)）15.（ 2022 江西卷文） （本小題滿分 14 分）如圖，已知圓 :G22()xyr???是橢圓216xy??的內(nèi)接△ ABC的內(nèi)切圓, 其中 A為橢圓的左頂點(diǎn). （1）求圓 的半徑 r。（2）過(guò)點(diǎn) (0,1)M作圓 的兩條切線交橢圓于 EF， 兩點(diǎn)，證明：直線 EF與圓 相切．解: （1）設(shè) B02,ry?（ ） ，過(guò)圓心 G作 DAB?于 , C交長(zhǎng)軸于 H由 GDHA?得 0263r??,即 0ry? (1) 而點(diǎn) B02,r（ ） 在橢圓上,2220()14()6161rrry??????? (2)xyAB0CMEF．G由(1)、 (2)式得 21580r???,解得 23r或 65??（舍去）(2) 設(shè)過(guò)點(diǎn) M(0,)與圓 24()9xy相切的直線方程為: 1ykx? (3)則 231k??,即 23650k (4)解得 1294941,k???將(3)代入26xy?得 2(6)30kxk??,則異于零的解為 2316kx???設(shè) 1(,)Fk, 2(1)E，則 1122,6k??則直線 的斜率為： 211234EFkxk??于是直線 的方程為:21123()66yxkk??? 即 374yx??則圓心 (2,0)到直線 FE的距離372916d??? 故結(jié)論成立.16.（ 2022 江西卷理） （本小題滿分 12 分）已知點(diǎn) 10(,)Pxy為雙曲線218xyb??（ b為正常數(shù)）上任一點(diǎn), 2F為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò) 1作右準(zhǔn)線的垂線, 垂足為 A,連接 2并延長(zhǎng)交 y軸于 2. (1) 求線段 1P2的中點(diǎn) 的軌跡 E的方程。(2) 設(shè)軌跡 E與 x軸交于 BD、 兩點(diǎn), 在 上任取一點(diǎn) 1,(0)Qxy?（ ） ,直線 QBD， 分別交 y軸于 MN， 兩點(diǎn).求證: 以 MN為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).解： (1) 由已知得 20830FbAy（ ， ） ， （ ， ） ,則直線 2FA的方程為 : 03()yxb??, 令 0x?得 9y,即 (,)P,2F1OyxA2P設(shè) Pxy（ ， ） ,則00 295xy??????,即25xy?????代入2022xyb??得:24185xyb??,即 的軌跡 E的方程為221xb??. (2) 在2215xyb??中令 0y得 2b,則不妨設(shè) 2020BbDb（ ， ） ， （ ， ） ,于是直線 QB的方程為: 1()x?, 直線 Q的方程為: 1()yx?,則 112200bybyMNxx?（ ， ） ， （ ， ） ,則以 為直徑的圓的方程為: 2112 0ybyxbx???（ ） （ ） ,令 0y?得:21byx?,而 1,Q（ ） 在225?上,則 22115y?,于是 5?,即以 MN為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn) (,0),b.17.（ 2022 天津卷文） （本小題滿分 14 分）已知橢圓 12??byax（ 0?a）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 )0(,),(21??cFc，過(guò)點(diǎn) )0,(2caE的直線與橢圓相交于點(diǎn) A,B 兩點(diǎn)，且 ||2|,/121BFAF?（Ⅰ求橢圓的離心率（Ⅱ）直線 AB 的斜率；（Ⅲ）設(shè)點(diǎn) C 與點(diǎn) A 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線 2上有一點(diǎn) H(m,n)( 0?m)在 CAF1?的外接圓上，求 mn的值?！敬鸢浮?（1） 3?ace（ 2） 3?k（3） 5?mn【解析】 （1）解：由 |||,/2121BFAF，得 21|||12?AFBE,從而22???ca，整理得 23ca?，故離心率 3?ace（2 ）解：由（1）知， 22b?，所以橢圓的方程可以寫為 2263cyx??設(shè)直線 AB 的方程為 )(2caxky??即 )3(cxky??由已知設(shè) ),(),21BxA則它們的坐標(biāo)滿足方程組 ??????2263)(cyxk 消去 y 整理，得 062783????ckcxk依題意， 3,0)1(482????c而 22121 67,3kcxkx????，有題設(shè)知，點(diǎn) B 為線段 AE 的中點(diǎn)，所以 213xc??聯(lián)立三式，解得 221 39,9c，將結(jié)果代入韋達(dá)定理中解得 ?k(3)由（2 ）知， 3,021x?，當(dāng) ?k時(shí)，得 A ),0(c由已知得 )2,0(cC?線段 1AF的垂直平分線 l 的方程為 ),2(2xcy??直線 l 與 x 軸的交點(diǎn) ),(是 CAF1?的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為 2)()(cx??直線 BF2的方程為 )(y?，于是點(diǎn) ),(nmH滿足方程組 ???????)(2492cmn由 0?，解得,35m?，故 52mn當(dāng) 2k時(shí)，同理可得 ?【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力。18.(2022 湖北卷理)（本小題滿分 14 分） （注意：在試題卷上作答無(wú)效）過(guò)拋物線 2(0)ypx??的對(duì)稱軸上一點(diǎn) ??,0Aa?的直線與拋物線相交于 M、N 兩點(diǎn)，自 M、N 向直線 :lxa?作垂線，垂足分別為 1M、 N。 （Ⅰ）當(dāng) 2時(shí)，求證： ⊥ 1；（Ⅱ）記 1A?、 1 、 A?的面積分別為 1S、 3，是否存在 ?，使得對(duì)任意的 0a?，都有 212S??成立。若存在，求出 ?的值；若不存在，說(shuō)明理由。20 題。本小題主要考察拋物線的定義和幾何性質(zhì)等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理運(yùn)算的能力。 （14 分）解：依題意，可設(shè)直線 MN 的方程為 12,(),()xmyaMxyN??，則有 12(,)(,)MayN?由 2xmp?????消去 x 可得 20ypa? 從而有 12ya ①于是 21212()()xmympa???? ②又由 11yp， 2x可得2212()4ypa?? ③（Ⅰ）如圖 1，當(dāng) a?時(shí)，點(diǎn) (,0)pA即為拋物線的焦點(diǎn)， l為其準(zhǔn)線 2px??此時(shí) 12(,)(,)2PMyNy?并 由 ①可得 21yp??證法 1： 12(,)App?uvuvQ221 10yAMN?????即 證法 2： 112,AMANyKp?11212,AMNy????即 . (Ⅱ)存在 4?，使得對(duì)任意的 0a?，都有 2134S?成立，證明如下：證法 1：記直線 l與 x 軸的交點(diǎn)為 1A,則 Oa。于是有1112 231))SAayMNSxay?????????（（ 2 2311221 124((()[()][]yxayay????????將①、②、③代入上式化簡(jiǎn)可得 2 22(48)(4)()mpapmapma?上式恒成立，即對(duì)任意 2130,S??成立 證法 2：如圖 2，連接 1,MN,則由 2121,yapyx??可得11221OMONypyKKxa???,所以直線 1M經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O，同理可證直線 也經(jīng)過(guò)原點(diǎn) O又 1A?設(shè) 112112,Ahd??則2232,()().SdhahS??19.（ 2022 四川卷文） （本小題滿分 12 分） 已知橢圓21(0)xyba??的左、右焦點(diǎn)分別為 12F、 ，離心率 2e?，右準(zhǔn)線方程為 2x?。（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過(guò)點(diǎn) 1F的直線 l與該橢圓交于 MN、 兩點(diǎn)，且 263N???，求直線 l的方程?！窘馕觥?（I）由已知得 2?????ca，解得 ,1?ac ∴ 21??bac∴ 所求橢圓的方程為2??xy（II）由（I）得 1(,0)?F、 2(,)①若直線 l的斜率不存在，則直線 l的方程為 1??x，由 21??????xy得 2?設(shè) 2(1,)?M、 2(1,)?N， ∴ 2(,)(,)(4,0)???????F ，這與已知相矛盾。②若直線 l的斜率存在，設(shè)直線直線 l的斜率為 k，則直線 l的方程為 (1)??ykx，設(shè) 1(,)Mxy、 2(,)Ny，聯(lián)立 2??????ky，消元得 22(1)40????kxk∴ 221214,??????kkxx，∴ 12122()y， 又∵ ,(1,)??????FMxyFNxy∴ 2122(???∴ 222212186)()13?????????????????? kkxy化簡(jiǎn)得 420370??k解得 21或 (舍 去 )?∴ ?∴ 所求直線 l的方程為 1或???yxx 20.（ 2022 全國(guó)卷Ⅱ理） （本小題滿分 12 分） 已知橢圓2:(0)Cab?的離心率為 3，過(guò)右焦點(diǎn) F 的直線 l與 C相交于 A、 B兩點(diǎn)，當(dāng) l的斜率為 1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn) O到 l的距離為 2 （I）求 a， b的值； （II） C上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng) l繞 F 轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有 OPAB??????成立？若存在，求出所有的 P 的坐標(biāo)與 的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解:(I）設(shè) (,0)Fc，直線 :0lxyc??，由坐標(biāo)原點(diǎn) 到 l的距離為 2 則 ||2??，解得 3,eab??.（II）由(I）知橢圓的方程為2:3xyC?.設(shè) 1(,)Axy、 B2(,)xy由題意知 l的斜率為一定不為 0，故不妨設(shè) :lm??代入橢圓的方程中整理得 2()40my?，顯然 ??。由韋達(dá)定理有： 122,3y???122,3?． ． ． ． ． ． ． ．①.假設(shè)存在點(diǎn) P，使 OAB????成立，則其充要條件為：點(diǎn) 12(,)xy?的 坐 標(biāo) 為 ，點(diǎn)