【正文】 ????????,要使 OAB???, 需使 120y,即2250t,所以 2540tk??, 即 254tk?且 241tk?, 即 2245k??恒成立.所以又因為直線 yx為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21trk??,22(1)45ktr??, 所求的圓為 245xy??.當切線的斜率不存在時,切線為 5?x,與24xy交于點 ),5(?或 )52,(??也滿足OAB?.綜上, 存在圓心在原點的圓 2y??，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB???.(3)當 41?m時 ,軌跡 E 的方程為 214x,設直線 l的方程為 ykxt??,因為直線 l與圓 C: 22xyR??(1R2)相切于 A1, 由（2）知 21tRk?, 即 22()tRk?? ①,因為 l與軌跡 E 只有一個公共點 B1,由（2）知 24yxt?????得 224()kxt?,即 22(1)80kxt???有唯一解則△= 26(1)16(4)0ktkt???, 即 2410kt???, ②由①②得222341Rtk??????, 此時 A,B 重合為 B1(x1,y1)點, 由12284ktx??????? 中 21x?,所以,2214163tRk???, B1(x1,y1)點在橢圓上 ,所以2221143yxR?,所以 221124| 5OBxyR???,在直角三角形 OA1B1 中, 2222111 24||||5()AOBA???因為 24??當且僅當2(,)R??時取等號,所以 ||?,即當 時|A 1B1|取得最大值,最大值為 1.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關系,以及直線與橢圓的位置關系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.10.（ 2022 江蘇卷） （本小題滿分 16 分） 在平面直角坐標系 xoy中，已知圓 221:(3)14Cxy???和圓 222:(4)54Cxy???.（1 ）若直線 l過點 (4,0)A，且被圓 截得的弦長為 ，求直線 l的方程；（2 ）設 P 為平面上的點，滿足：存在過點 P 的無窮多對互相垂直的直線 1和 2l，它們分別與圓 1C和圓 2相交，且直線 被圓 1截得的弦長與直線 2l被圓 截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點 P 的坐標。解: （ 1）因為橢圓 E: 21xyab??（a,b0 ）過 M（2， ） ，N( 6,1)兩點,所以2461ab??????解得2814????所以2a????橢圓 E 的方程為2184xy??（2 ）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 OAB???,設該圓的切線方程為 ykxm??解方程組 2184xykm??????得 22()8xk??,即 22(1)480kxm????, 則△= 222164())()0k???,即 20??1228kxm??????, 22221212112(8)48())()11kmkmkykxkxmx??????????要使OAB???,需使 120y,即2280k?,所以 230,所以230?又2840km???,所以 23????,所以 23,即 6?或 6m??,因為直線 ykxm??為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為 21mrk??,22831rk??, 23r,所求的圓為283xy??,此時圓的切線 yx都滿足 6?或 26??,而當切線的斜率不存在時切線為6?與橢圓214x??的兩個交點為 2(,)3?或 (,)3?滿足 OAB???,綜上, 存在圓心在原點的圓 283y，使得該圓的任意一條切線與橢圓 E 恒有兩個交點 A,B,且 .因為1228kmx???????,所以2222211148(4)()()()11kmkmxx???????????,?? 22222111()|()())AByxk4224353[]kk?????, ①當 0k?時 231|[]4ABk??因為 2148k??所以 2022k??,所以 23[]4k??,所以 6|33AB?當且僅當 2k??時取”=”. ② 當 0k?時, 4|.③ 當 AB 的斜率不存在時, 兩個交點為 26(,)3?或 26(,)3??,所以此時 46|3AB?,綜上, |AB |的取值范圍為 46|3AB?即: 4|[,]?【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.9. (2022 山東卷文)（本小題滿分 14 分）設 mR?,在平面直角坐標系中,已知向量 (,1)amxy???,向量 (,1)bxy???,ab??,動點 (,)Mxy的軌跡為 E.（1 ）求軌跡 E 的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀。（1 ）求拋物線 C 的標準方程；（2 ）求過點 F，且與直線 OA 垂直的直線的方程；（3 ）設過點 (,0)Mm?的直線交拋物線 C 于 D、E 兩點，ME=2DM ，記 D 和 E 兩點間的距離為 ()fm，求()f關于 的表達式。3.（2022 浙江理） （本題滿分 15 分）已知橢圓 1C：2(0)yab??的右頂點為 (1,0)A，過 1C的焦點且垂直長軸的弦長為 1． （I）求橢圓 C的方程； （II）設點 P在拋物線 2： 2()yxh???R上， 2在點 P處的切線與 1交于點 ,MN．當線段 AP的中點與 MN的中點的橫坐標相等時，求 的最小值．解析：（I）由題意得 2,1ba???????所求的橢圓方程為214yx??， （II）不妨設 212(,)(,)(,),xyNPth?則拋物線 2C在點 P 處的切線斜率為 2xty??，直線 MN 的方程為2yth???，將上式代入橢圓 1C的方程中，得 2()0xth?，即??4140tt?，因為直線 MN 與橢圓 1有兩個不同的交點，所以有426()??????，設線段 MN 的中點的橫坐標是 3x，則21()xt??， 設線段 PA 的中點的橫坐標是 4，則 t，由題意得 34x?，即有 2(1)0tht??，其中的22(1)40,1h??????或 h??；當 3?時有 2?，因此不等式 216()4tht????????不成立；因此 1h?，當時代入方程 2()0tt??得 t，將 ,h代入不等式4216()40tht???????????成立，因此 h的最小值為 1．4.（2022 浙江文） （本題滿分 15 分）已知拋物線 C： 2(0)xpy??上一點 (,4)Am到其焦點的距離為 174． （I）求 p與 m的值； （II）設拋物線 C上一點 P的橫坐標為 (0)t，過 P的直線交 C于另一點 Q，交 x軸于點 M，過點 Q作PQ的垂線交 于另一點 N．若 M是 的切線，求 t的最小值．解析（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程： 2py??，根據(jù)拋物線定義點 )4,(A到焦點的距離等于它到準線的距離，即 417??，解得 21p?拋物線方程為： yx?2，將 )4,(mA代入拋物線方程，解得 ?m（Ⅱ）由題意知，過點 ,2tP的直線 Q斜率存在且不為 0，設其為 k。具體解法略。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號的條件，這和二次均值類似。因此利用設而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個較好的切入點． 設四個交點的坐標分別為 1(,)Ax、 1(,)Bx?、 2(,)Cx?、 2(,)Dx。三、解答題1.(2022 年廣東卷文)（本小題滿分 14 分）已知橢圓 G 的中心在坐標原點, 長軸在 x軸上,離心率為 23,兩個焦點分別為 1F和 2,橢圓 G 上一點到 1F和 2的距離之和為 kC: 02142???ykyx)(Rk?的圓心為點 kA.(1)求橢圓 G 的方程(2)求 21FAk?的面積(3)問是否存在圓 k包圍橢圓 G?請說明理由.【解析】 （1）設橢圓 G 的方程為：21xyab?? （ 0ab?）半焦距為 c?！窘馕觥孔⒁獾?P 點在雙曲線的兩只之間 ,且雙曲線右焦點為 F’(4,0), 于是由雙曲線性質(zhì)|PF|－|PF’|＝2a ＝4 而|PA|＋|PF’|≥|AF’|＝5 兩式相加得|PF|＋|PA|≥9,當且僅當 A、P、F’三點共線時等號成立.【答案】919.（ 2022 四川卷文）拋物線 24yx?的焦點到準線的距離是 .【解析】焦點 F（1，0） ，準線方程 1?，∴焦點到準線的距離是 220.（ 2022 寧夏海南卷文）已知拋物線 C 的頂點坐標為原點，焦點在 x 軸上，直線 y=x 與拋物線 C 交于 A，B 兩點，若 ??2,P為 AB的中點，則拋物線 C 的方程為 。12.（ 2022 廣 東 卷 理 ） 巳知橢圓 G的中心在坐標原點，長軸在 x軸上，離心率為 32，且 G上一點到 的兩個焦點的距離之和為 12，則橢圓 的方程為 ．【解析】 23?e， 1a， 6?， 3b，則所求橢圓方程為 19362??y.13.(2022 年廣東卷文)以點（2 ， ?）為圓心且與直線 xy?相切的圓的方程是 .【答案】 25((1)xy??【解析】將直線 6?化為 60xy?,圓的半徑 |216|5r??,所以圓的方程為225()(1)xy?? 14.（ 2022 天津卷文）若圓 42??yx與圓 )0(622????ayx的公共弦長為 32，則 a=________. 【解析】由已知，兩個圓的方程作差可以得到相交弦的直線方程為 y1 ，利用圓心（0，0）到直線的距離 d1|a?為 1322??，解得 a=1【考點定位】本試題考查了直線與圓的位置關系以及點到直線的距離公式的運用。以及直線的方程。故填寫①或⑤3.（2022 天津卷理）若圓 2xy?與圓 26xya???（a0）的公共弦的長為 23，則 ?a___________ 。二、填空題1.（2022 四川卷理）若⊙ 21:5Oxy??與⊙ 22:()0()OxmyR????相交于 A、B 兩點，且兩圓在點 A 處的切線互相垂直，則線段 AB 的長度是 w 【考點定位】本小題考查圓的標準方程、兩直線的位置關系等知識，綜合題。若方程3()fx?恰有 5 個實數(shù)解，則 m的取值范圍為（ ） A． 158(,)3B． 15(,7)3C． 48(,)3D． 4(,7)3【解析】因為當 (1,]x??時，將函數(shù)化為方程21(0)yxm???，實質(zhì)上為一個半橢圓，其圖像如圖所示，同時在坐標系中作出當 (1,3]x得圖像，再根據(jù)周期性作出函數(shù)其它部分的圖像，由圖易知直線 3xy?與第二個橢圓2(4)0)yx????相交，而與第三個半橢圓2(4)1(0)yxm????無公共點時，方程恰有 5 個實數(shù)解，將 3代入2(4)1(0)yxm????得22297350,xm??令 229(0)1850tttt??則由 2 2(8)41(),1,5,3tttm??????得 由 且 得同樣由 3xy與第二個橢圓2(8)(0)yx????由 ??可計算得 7?綜上知 15(,7)m?38.（ 2022 重慶卷文）圓心在 y軸上，半徑為 1，且過點（1，2）的圓的方程為（ ）A． 22()xy??? B． 2()x?? C． 22()(3)1xy??? D． 22(3)1xy???解法 1（直接法）：設圓心坐標為 0,b，則由題意知 ob?，解得 b，故圓的方程為22()xy。解析：直線 2:lx??為拋物線 24yx?的準線，由拋物線的定義知，P 到 2l的距離等于 P 到拋物線的焦點 )0,1(F的距離，故本題化為在拋物線 24yx?上找一個點使得 到點 ,和直線 2l的距離之和最小，最小值為 )0,1(F到直線1:4360lxy???的距離，即 25|604|min???d，故選擇 A。32.（2022 四川卷理）已知雙曲線2(0)xyb???的左右焦點分別為 12,F，其一條漸近線方程為 yx?，點0(3,)Py在該雙曲線上，則 12PF???=A. 12? B. 2 C .0 D. 4 【考點定位】本小題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的定義，基礎題。29.（ 2022 全國卷Ⅰ文）已知橢圓2:1xCy??的右焦點為 F,右準線 l，點 Al?，線段 AF 交 C 于點 B。若 AB 的中點為（2，2） ，則直線 ?的方程為_____________.解析：拋物線的方程為 24yx?，????21121121212124,4yxAyBxxyxy?????????????則 有 ，兩 式 相 減 得 ， ，直 線 l的 方 程 為 =x,即答案：y=x25.（ 2022 陜西卷文）過原點且傾斜角為 60?的直線被圓 學240y???所截得的弦長為科網(wǎng)（A）