選修4-5-證明不等式的基本方法-綜合法與分析法-資料下載頁
2025-08-05 17:23本頁面
【正文】 ? ? ? ?要 證 ，2 2 2 22 abc d a d b c??即 證? ? 2 0ad bc? ? ?要 證 ，? 原 不 等 式 得 證 ．上 式 恒 成 立 ，課堂練習(xí) 1 , 1 1 2 .c c c c? ? ? ? ?4. 已 知 求 證22( 1 1) ( 2 ) ,c c c? ? ? ?只 需 證21 2 1 1 4 ,c c c c? ? ? ? ? ?即 證2 1,cc? ? ?要 證1 , 1 0 , 1 0 ,c c c? ? ? ? ? ?證 :1 1 2c c c? ? ? ?要 證 ，221,cc??于 是 要 證 1 0.??即 證上 式 顯 然 成 立 ，? 原 不 等 式 得 證 ．課堂練習(xí) 作業(yè)： P26－ 3,4,5,6,9 分析法的思路是“執(zhí)果索因”，未知 ? 已知 即從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前面的不等式，直至找到已知的不等式為止。 小結(jié) : (1)法常用于比較法，綜合法難于 入手的題型． (2)分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_思 路自然，易于掌握，而綜合法的優(yōu)點(diǎn)是易于表述， 條理清楚 ,形式簡(jiǎn)潔，因而證不等式時(shí)常常用分 析法尋找解題思路，再用綜合法寫出證明過程． 解 :設(shè) f(x)=(1+x)n－ (1+nx)，則 f180。(x)=n(1+x)n1－ n＝ n［ (1+x)n1－ 1］ . 由 f180。(x)=0得 x=0,于是 當(dāng) x∈( 1， 0)時(shí) ,f180。(x)0， f(x在 (1,0)上遞減 . 當(dāng) x∈(0,+∞) 時(shí) ,f180。(x)0， f(x)在 (0,+∞) 上遞增 . ∴ 當(dāng) x=0時(shí)， f(x)最小，最小值為 0，即 f(x)≥0 ． ∴ (1+x)n ≥1+nx. 例 x＞ 1， n≥2 且 n∈ N*，比較 (1+x)n與 1+nx的 大小 . 例 x＞ 1， n≥2 且 n∈ N*，比較 (1+x)n與 1+nx的 大小 . 解 :設(shè) t=1+x,則 t0,(1+x)n(1+nx)=tn－ nt＋ n－ 1(﹡ ) 再設(shè) f(t)= tnnt+n1,則 f180。(t)=ntn1－ n＝ n(tn1－ 1］ . 當(dāng) t∈(0 ， 1)時(shí) ,f180。(t)0， f(t)在 (0,1)上遞減 . 當(dāng) t∈(1,+∞) 時(shí) ,f180。(t)0， f(t)在 (1,+∞) 上遞增 . ∴ 當(dāng) t=0時(shí)， f(t)最小，最小值為 0，即 f(t)≥0 ． ∴ tn－ nt＋ n－ 1≥0, 由 (﹡ )式即得 (1+x)n ≥1+nx.
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