【正文】 P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(ij),于是，隨機變量U和V的聯(lián)合概率分布為V\概率\U12311/92/92/9201/92/93001/9習題2設(X,Y)的分布律為X\Y112121/101/53/101/51/101/10試求：(1)Z=X+Y。(2)Z=XY。(3)Z=X/Y。(4)Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機變量函數(shù)的分布律的計算類型，Z的相同值的概率要合并.概率1/101/53/101/51/101/10(X,Y)X+YXYX/Ymax{x,Y}(1,1)(1,1)(1,2)(2,1)(2,1)(2,2)201134112224111/2221112222于是(1) (2)X+Y20134pi1/101/51/21/101/10XY20134pi1/21/51/101/101/10 max{X,Y}112pi1/101/57/10 (3) (4)X/Y211/212pi1/51/53/101/51/10習題3設二維隨機向量(X,Y)服從矩形區(qū)域D={(x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布，且U={0,X≤Y1,XY,V={0,X≤2Y1,X2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題(U,V)的概率分布為P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}=∫01dx∫x112dy=14,P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X2Y}=0,P{U=1,V=0}=P{XY,X≤2Y}=P{YX≤2Y}=∫01dy∫y2y12dx=14,　P{U=1,V=1}=1P{U=0,V=0}P{U=0,V=1}P{U=1,V=0}=1/2,即U\V01011/401/41/2習題4設(X,Y)的聯(lián)合分布密度為f(x,y)=12πex2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解:FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.當z0時，F(xiàn)Z(z)=P(?)=0。當z≥0時，F(xiàn)Z(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2ex2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0zeρ22ρdρ=∫0zeρ22ρdρ=1ez22.故Z的分布函數(shù)為FZ(z)={1ez22,z≥00,z0.Z的分布密度為fZ(z)={zez22,z00,z≤0.習題5設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={12(x+y)e(x+y),x0,y00,其它,(1)問X和Y是否相互獨立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e(x+y)dy,x00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12tetdt=12(x+1)ex,x00,x≤0,由對稱性知fY(y)={12(y+1)ey,y00,y≤0,顯然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x0,y0,所以X與Y不獨立.(2)用卷積公式求fZ(z)=∫∞+∞f(x,zx)dx.當{x0zx0即{x0xz時，f(x,zx)≠0,所以當z≤0時，fZ(z)=0。當z0時，fZ(z)=∫0z12xexdx=12z2ez.于是，Z=X+Y的概率密度為fZ(z)={12z2ez,z00,z≤0.習題6設隨機變量X,Y相互獨立，若X服從(0,1)上的均勻分布，Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布，求隨機變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意，X,Y的概率密度分布為fX(x)={1,0x10,其它,fY(y)={ey,y≥00,y0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為fZ(z)=∫∞+∞fX(x)fY(zx)dx=∫∞+∞fX(zy)fY(y)dy=∫0+∞fX(zy)eydy.由0zy1得z1yz,可見：當z≤0時，有fX(zy)=0,故fZ(z)=∫0+∞0?eydy=0。當z0時，fZ(z)=∫0+∞fX(zy)eydy=∫max(0,z1)zeydy=emax(0,z1)ez,即fZ(z)={0,z≤01ez,0z≤1e1zez,z1.習題7設隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)={be(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（1）試確定常數(shù)b；（2）求邊緣概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：（1）由∫∞+∞∫∞+∞f(x,y)dxdy=1，確定常數(shù)b.∫01dx∫0+∞bexeydy=b(1e1)=1，所以b=11e1，從而f(x,y)={11e1e(x+y),0x1,0y+∞,0,其它.（2）由邊緣概率密度的定義得fX(x)={∫0+∞11e1e(x+y)dy=ex1ex,0x1,0,其它，fY(x)={∫0111e1e(x+y)dx=ey,0y+∞,0,其它（3）因為f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X與Y獨立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xet1e1dt=1ex1e1,0x1，所以FX(x)={0,x≤0,1ex1e1,0x1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0yetdt=1ey,0y+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u0,(1eu)21e1,0≤u1,1eu,u≥1.習題8設系統(tǒng)L是由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成，L1和L2的壽命分別為X與Y,其概率密度分別為?1(x)={αeαx,x00,x≤0,?2(y)={βeβy,y00,y≤0,其中α0,β0,α≠β,試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設Z=min{X,Y},則F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z} =1P{min(X,Y)z}=1P{X≥z,Y≥z} =1[1P{Xz}][1P{Yz}]=1[1F1{z}][1F2{z}]由于F1(z)={∫0zαeαxdx=1eαz,z≥00,z0,F2(z)={1eβz,z≥00,z0,故 F(z)={1e(α+β)z,z≥00,z0,從而 ?(z)={(α+β)e(α+β)z,z00,z≤0.習題9設隨機變量X,Y相互獨立，且服從同一分布，試明：P{amin{X,Y}≤b}=[P{Xa}]2[P{Xb}]2.解答：設min{X,Y}=Z,則P{amin{X,Y}≤b}=FZ(b)FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1P{min{X,Y}z}=1P{Xz,Yz}=1P{Xz}P{Yz}=1[P{Xz}]2,代入得P{amin{X,Y}≤b}=1[P{Xb}]2(1[P{Xa}]2)=[P{Xa}]2[P{Xb}].復習總結(jié)與總習題解答習題1在一箱子中裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中取兩次，每次任取一只，考慮兩種試驗：(1)放回抽樣；(2),Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就(1),(2)兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：(1)有放回抽樣，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10101212=2536。 P{X=1,Y=0}=2101212=536,P{X=0,Y=1}=1021212=536, P{X=1,Y=1}=221212=136,(2)不放回抽樣，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=1091211=4566, P{X=0,Y=1}=1021211=1066,P{X=1,Y=0}=2101211=1066, P{X=1,Y=1}=211211=166,Y\X010145/6610/6610/661/66習題2假設隨機變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，隨機變量 Xk={0,若Y≤k1,若Yk(k=1,2),求(X1,X2)的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因為Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，X1={0,若Y≤11,若Y1, 所以有 P{X1=1}=P{Y1}=∫1+∞eydy=e1, P{X1=0}=1e1,同理 P{X2=1}=P{Y2}=∫2+∞eydy=e2, P{X2=0}=1e2,因為 P{X1=1,X2=1}=P{Y2}=e2， P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}P{X1=1,X2=1}=e1e2, P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1e1, P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}P{X1=0,X2=0}=0,故(X1,X2)聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1\slashX201P{X1=i}01e101e11e1e2e2e1P{X2=j}1e2e2習題3在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，內(nèi)裝3只橘子，2只蘋果，3只香蕉. 今從袋中隨機抽出4只，以X記橘子數(shù)，Y記蘋果數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2. P{X=0,Y=0}=P{?}=0, P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70, P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70, P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70 , P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70, P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70, P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70, P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70, P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70, P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70, P{X=3,Y=2}=P{?}=0,所以，(X,Y)的聯(lián)合分布如下：X\Y012301203/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習題4設隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處：X\Yy1y2y3pi?x11/8x21/8p?j1/61解答：由題設X與Y相互獨立，即有 pij=pi?p?j(i=1,2。j=1,2,3), p?1p21=p11=1618=124,又由獨立性，有 p11=p1?p?1=p1?16故p1?==1412418, 又由p12=p1?p?2, 即18=14?p?2.從而p?2=12. 類似的有 p?3=13,p13=14,p2?=34.將上述數(shù)值填入表中有X\Yy1y2y3pi?x11/241/81/121/4x21/83/81/43/4p?j1/61/21/31習題5設隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布如下表：求：(1)a值；(2)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX(x)與FY(y).解答：(1)\because由分布律的性質(zhì)可知∑i?jPij=1, 故14+14+16+a=1,∴a=13.(2)因F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}①當x1或y1時，F(xiàn)(x,y)=0。②當1≤x2,1≤y0時，F(xiàn)(x,y)=P{X=1,Y=1}=1/4。③當x≥2,1≤y0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}=5/12。④當1≤x2,y0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=0}=1/2。⑤當x≥2,y≥0時， F(x,y)=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0} =1。綜上所述，得(X,Y)聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y)={0,x1或y11/4,1≤x2,1≤y05/12,x≥2,1≤y01/2,1≤x2,y≥01,x≥2,y≥0.(3)由FX(x)=P{X≤x,Y+∞}=∑xix∑j=1+∞pij, 得(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)