常考問(wèn)題7-三角恒等變換與解三角形-資料下載頁(yè)
2025-08-05 06:08本頁(yè)面
【正文】 ＝2π3，由 sin C ＝ 2 sin A 得 sin??????2π3－ A ＝ 2sin A ，32c os A ＋12sin A ＝ 2sin A ，所以 tan A ＝33，因?yàn)?0 A 2π3，所以 A ＝π6， C ＝π2. 法二 由已知，得 A ＋ C ＝ 2 B ，又 A ＋ B ＋ C ＝ π ，所以 B ＝π3，又由sin C ＝ 2sin A ，得 c ＝ 2 a ，所以 b2＝ a2＋ 4 a2－ 2 a 2 a c osπ3＝ 3 a2， c2＝ a2＋ b2，即 △ ABC 為直角三角形，所以 C ＝π2， A ＝2π3－π2＝π6. 知識(shí)與方法 熱點(diǎn)與突破 審題與答題 ( 2) an＝ 2n| c os nC |＝ 2n| c o sn π2|＝????? 0 ， n 為奇數(shù)，2n， n 為偶數(shù)，所以 S2 k ＋ 1＝ S2 k＝ 0＋ 22＋ 0 ＋ 24＋ ? ＋ 0 ＋ 22 k＝4 ? 1 － 22 k?1 － 4＝22 k ＋ 2－ 43， k ∈ N*. 由22 k ＋ 2－ 43＝ 340 ，得 22 k ＋ 2＝ 1 024 ，所以 k ＝ 4. 所以 n ＝ 8 或 n ＝ 9. 方法點(diǎn)評(píng) 本題亮點(diǎn)在于以等差數(shù)列為載體，將數(shù)列內(nèi)容與解三角形相結(jié)合，其求解策略是：三角形中的三角恒等變換是關(guān)于三角形的內(nèi)角的三角函數(shù)之間的恒等變換，三角形內(nèi)角和為 π 在其中起關(guān)鍵作用，用好這個(gè)關(guān)系是破解難點(diǎn)的重要環(huán)節(jié)． 知識(shí)與方法 熱點(diǎn)與突破 審題與答題 [ 針對(duì)訓(xùn)練 ] 已知函數(shù) f ( x ) ＝ s in2??????x2＋π12＋ 3 sin??????x2＋π12 co s??????x2＋π12－12. (1) 在 △ ABC 中，若 sin C ＝ 2sin A ， B 為銳角且有 f ( B ) ＝32，求角 A ， B ， C ； (2) 若 f ( x )( x 0) 的圖象與直線(xiàn) y ＝12交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x1， x2， ? ， xn，求 數(shù) 列 ??????xn 的前 2 n 項(xiàng)和， n ∈ N*. 知識(shí)與方法 熱點(diǎn)與突破 審題與答題 解 f ( x ) ＝1 － c os??????x ＋π62＋32sin??????x ＋π6－12＝ 32sin??????x ＋π6－12c os??????x ＋π6＝ sin x ＋π6－π6＝ sin x . ( 1) 因?yàn)?f ( B ) ＝32，故 sin B ＝32. 又 B 為銳角，所以 B ＝π3. 由 sin C＝ 2sin A ，得 c ＝ 2 a ，所以 b2＝ a2＋ 4 a2－ 2 a 2 a c osπ3＝ 3 a2. 所以 c2＝a2＋ b2. 所以 △ ABC 為直角三角形， C ＝π2， A ＝2π3－π2＝π6. 知識(shí)與方法 熱點(diǎn)與突破 審題與答題 ( 2) 由正弦曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性、周期性，可知x 1 ＋ x 22＝π2，x 3 ＋ x 42＝ 2π ＋π2， ? ，x 2 n － 1 ＋ x 2 n2＝ 2( n － 1) π ＋π2，所以 x 1 ＋ x 2 ＋ ? ＋ x 2 n － 1 ＋ x 2 n ＝ π＋ 5π ＋ 9π ＋ ? ＋ (4 n － 3) π ＝ n π ＋12n ( n － 1) 4π ＝ (2 n2－ n ) π .
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