【正文】 cosaiDSi187。(DSi)yz , cosbiDSi187。(DSi)zx , cosgiDSi187。(DSi)xy ,因此上式可以寫成 。 令l174。0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值. 這樣的極限還會在其它問題中遇到. 抽去它們的具體意義, 就得出下列對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 提示: 把DSi看成是一小塊平面, 其法線向量為ni, 則通過DSi流向指定側(cè)的流量近似地等于一個斜柱體的體積. 此斜柱體的斜高為|vi|, 高為|vi|cos(vi,^ni)=vini, 體積為viniDSi .因為 ni=cosai i+cosbi j+ cosgi k, vi=v(xi, hi, zi )=P(xi, hi, zi )i+Q(xi, hi, zi )j+R(xi, hi, zi )k, viniDSi=[P(xi, hi, zi)cosai+Q(xi, hi, zi)cosbi+R(xi, hi, zi)cosgi]DSi , 而 cosaiDSi187。(DSi)yz , cosbiDSi187。(DSi)zx , cosgiDSi187。(DSi)xy ,所以 viniDSi187。P(xi, hi, zi)(DSi)yz+Q(xi, hi, zi)(DSi)zx+R(xi, hi, zi)(DSi)xy . 對于S上的一個小塊s, 顯然在Dt時間內(nèi)流過s的是一個彎曲的柱體. 它的體積近似于以s為底, 而高為 (|V|Dt)cos(V,^n)=Vn Dt的柱體的體積: VnDtDS, 這里n=(cosa, cosb, cosg)是s上的單位法向量, DS表示s的面積. 所以單位時間內(nèi)流向s 指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 VnDS187。(P(x, y, z)cosa+Q(x, y, z)cosb +R(x, y, z)cosg )DS . 如果把曲面S分成n小塊si(i=1, 2, , n), 單位時間內(nèi)流向S指定側(cè)的流體的質(zhì)量近似于 m. 按對面積的曲面積分的定義, . 舍去流體這個具體的物理內(nèi)容, 我們就抽象出如下對坐標(biāo)的曲面積分的概念. 定義 設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點. 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時, 總存在, 則稱此極限為函數(shù)R(x, y, z)在有向曲面S上對坐標(biāo)x、y的曲面積分:, 記作,即 . 類似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 定義 設(shè)S是空間內(nèi)一個光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的單位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是確在S上的向量場. 如果下列各式右端的積分存在, 我們定義 , , . 并稱為P在曲面S上對坐標(biāo)y、z的曲面積分, 為Q在曲面S上對坐標(biāo)z、x的曲面積分, 為R在曲面S上對坐標(biāo)y、z的曲面積分. 其中P、Q、R叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 以上三個曲面積分也稱為第二類曲面積分. 對坐標(biāo)的曲面積分的存在性: 對坐標(biāo)的曲面積分的簡記形式: 在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是 . 流向S指定側(cè)的流量F可表示為 F. 一個規(guī)定: 如果是分片光滑的有向曲面, 我們規(guī)定函數(shù)在S上對坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標(biāo)的曲面積分之和. 對坐標(biāo)的曲面積分的性質(zhì): 對坐標(biāo)的曲面積分具有與對坐標(biāo)的曲線積分類似的一些性質(zhì). 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 則 . (2)設(shè)S是有向曲面, S表示與S取相反側(cè)的有向曲面, 則 . 這是因為如果n=(cosa , cosb , cosg)是S的單位法向量, 則S上的單位法向量是 n =( cosa , cosb , cosg). 二、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法 將曲面積分化為二重積分: 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有, 其中當(dāng)S取上側(cè)時, 積分前取“+”。 當(dāng)S取下側(cè)時, 積分前取“”. 這是因為, 按對坐標(biāo)的曲面積分的定義, 有 =. 當(dāng)S取上側(cè)時, cos g0, 所以(DSi)xy =(Dsi)xy.又因(xi, hi, zi)是S上的一點, 故zi=z(xi, hi). 從而有 . 令l174。0取上式兩端的極限, 就得到 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時, 有 . 因為當(dāng)S取上側(cè)時, cosg0, (DSi)xy=(Dsi)xy. 當(dāng)(xi, hi, zi)206。S時, zi=z(xi, hi). 從而有 . 同理當(dāng)S取下側(cè)時, 有 . 這是因為n=(cosa, cosb , cosg), , , . 類似地, 如果S由x=x(y, z)給出, 則有 . 如果S由y=y(z, x)給出, 則有 . 應(yīng)注意的問題: 應(yīng)注意符號的確定. 例1. 計算曲面積分 , 其中S是長方體W的整個表面的外側(cè), W=((x, y, z) |0163。x163。a, 0163。y163。b, 0163。z163。c ). 解: 把W的上下面分別記為S1和S2。 前后面分別記為S3和S4。 左右面分別記為S5和S6. S1: z=c (0163。x163。a, 0163。y163。b)的上側(cè)。 S2: z=0 (0163。x163。a, 0163。y163。b)的下側(cè)。 S3: x=a (0163。y163。b, 0163。z163。c)的前側(cè)。 S4: x=0 (0163。y163。b, 0163。z163。c)的后側(cè)。 S5: y=0 (0163。x163。a, 0163。z163。c)的左側(cè). S6: y=b (0163。x163。a, 0163。z163。c)的右側(cè)。 除SS4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影為零, 因此 =a2bc . 類似地可得 , . 于是所求曲面積分為(a+b+c)abc. 例2 計算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外側(cè)在x179。0, y179。0的部分. 解 把有向曲面S分成以下兩部分: : (x179。0, y179。0)的上側(cè), : (x179。0, y179。0)的下側(cè). S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxy : x2+y2163。1(x179。0, y179。0). 于是 . 三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù). 如果S取上側(cè), 則有. 另一方面, 因上述有向曲面S的法向量的方向余弦為 , , , 故由對面積的曲面積分計算公式有 . 由此可見, 有 . 如果S取下側(cè), 則有 . 但這時, 因此仍有 , 類似地可推得 , . 綜合起來有 , 其中cos a、cos b、cos g是有向曲面S上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 兩類曲面積分之間的聯(lián)系也可寫成如下向量的形式: , 或, 其中A=(P, Q, R), n=(cos a, cos b, cos g)是有向曲面S上點(x, y, z)處的單位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy), 稱為有向曲面元, An為向量A在向量n上的投影. 例3 計算曲面積分, 其中S是曲面介于平面z=0及z=2之間的部分的下側(cè). 解 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 . 在曲面S上, (提示: 曲面上向下的法向量為(x, y, 1) ) , , . 故 =8p. 解: 由兩類曲面積分之間的關(guān)系, 可得 =8p. 提示: . 167。3. 6 高斯公式 通量與散度 一、高斯公式 定理1設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 或 , 簡要證明 設(shè)W是一柱體, 上邊界曲面為S1: z=z2(x, y), 下邊界曲面為S2: z=z1(x, y), 側(cè)面為柱面S3, S1取下側(cè), S2取上側(cè)。 S3取外側(cè). 根據(jù)三重積分的計算法, 有 . 另一方面, 有 , , , 以上三式相加, 得 . 所以 . 類似地有 , , 把以上三式兩端分別相加, 即得高斯公式. 例1 利用高斯公式計算曲面積分, 其中S為柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所圍成的空間閉區(qū)域W的整個邊界曲面的外側(cè). 解 這里P=(yz)x, Q=0, R=xy, , , . 由高斯公式, 有 . 例2 計算曲面積分, 其中S為錐面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h (h0)之間的部分的下側(cè), cosa、cosb、cosg是S上點(x, y, z)處的法向量的方向余弦. 解 設(shè)S1為z=h(x2+y2163。h 2)的上側(cè), 則S與S1一起構(gòu)成一個閉曲面, 記它們圍成的空間閉區(qū)域為W, 由高斯公式得 提示: . 而 ,因此 . 提示: 根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性, . . 例3 設(shè)函數(shù)u(x, y, z)和v(x, y, z)在閉區(qū)域W上具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 證明 , 其中S是閉區(qū)域W的整個邊界曲面, 為函數(shù)v(x, y, z)沿S的外法線方向的方向?qū)?shù), 符號, 稱為拉普拉斯算子. 這個公式叫做格林第一公式. 證: 因為方向?qū)?shù) , 其中cosa、cosb、cosg是S在點(x, y, z)處的外法線向量的方向余弦. 于是曲面積分 . 利用高斯公式, 即得 , 將上式右端第二個積分移至左端便得所要證明的等式. 二、通量與散度 高斯公式的物理意義: 將高斯公式 改寫成 , 其中vn=vn=Pcosa +Qcosb +Rcosg, n={cosa , cosb , cosg}是S在點(x, y, z)處的單位法向量. 公式的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域W的流體的總質(zhì)量, 左端可解釋為分布在W內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量. 散度: 設(shè)W的體積為V, 由高斯公式得 , 其左端表示W(wǎng)內(nèi)源頭在單位時間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值. 由積分中值定理得 . 令W縮向一點M(x, y, z)得 . 上式左端稱為v在點M的散度, 記為divv, 即 . 其左端表示單位時間單位體積分內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量. 一般地, 設(shè)某向量場由 A(x, y, z)=P(x, y, z)i+Q(x, y, z)j+R(x, y, z)k 給出, 其中P, Q, R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), S是場內(nèi)的一片有向曲面, n是S上點(x, y, z)處的單位法向量, 則叫做向量場A通過曲面S向著指定側(cè)的通量(或流量), 而叫做向量場A的散度, 記作div A, 即 . 高斯公式的另一形式: , 或, 其中S是空間閉區(qū)域W的邊界曲面, 而 An=An=Pcosa+Qcosb+Rcosg是向量A在曲面S的外側(cè)法向量上的投影. 四、無窮級數(shù)無窮級數(shù)的概念 設(shè)已給數(shù)列a1,a2,…,an,…把數(shù)列中各項依次用加號連接起來的式子a1+a2+…+an+…稱為無窮級數(shù)，：或，即：=a1+a2+…+an+…，數(shù)列的各項a1,a2,…稱為級數(shù)的項，an稱為級數(shù)的通項. 取級數(shù)最前的一項，兩項，…，n項，…相加，得一數(shù)列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 這個數(shù)列的通項Sn=a1+a2+…+an稱為級數(shù)的前n項的部分和，該數(shù)列稱為級數(shù)的部分和數(shù)列。 如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂：，那末就稱該級數(shù)收斂，極限值S稱為級數(shù)的和。 例題：證明級數(shù)：的和是1. 證明： 當(dāng)n→∞時，Sn→.級數(shù)的性質(zhì) ：收斂的級數(shù)的通項an當(dāng)n→∞時趨于零，即： 注意：此條件只是級數(shù)收斂的必要條件，而不是充分條件。 例如：級數(shù)雖然在n→∞時，通項，級數(shù)卻是發(fā)散的。 此級數(shù)為調(diào)和級數(shù)，在此我們不加以證明。 ，那末每一項乘上常數(shù)c后所得到的級數(shù)，也是收斂的，那末當(dāng)c≠0時也發(fā)散。 。 ，不改變連在一起的有限項的次序而插入括號，所得的新級數(shù)仍收斂，其和不變。 注意：無限項的所謂和是一種極限，與有限項的和在本質(zhì)上是有區(qū)別的。 。正項級數(shù)的收斂問題　判定正項級數(shù)斂散性的基本定理 定理：，級數(shù)發(fā)散于正無窮大。 例如：p級數(shù)：，當(dāng)p1時收斂，當(dāng)p≤1時發(fā)散。 注意：在此我們不作證明。正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則 準(zhǔn)則一：設(shè)有兩個正項級數(shù)及，而且an≤bn(n=1,2,…）.如果收斂，那末也收斂；如果發(fā)散，那末也發(fā)散. 例如：級數(shù)是收斂的，因為當(dāng)n1時，有≤，而等比級數(shù)是收斂的 準(zhǔn)則二：設(shè)有兩個正項級數(shù)與，如果那末這兩個級數(shù)或者同時收斂，或者同時發(fā)散。 關(guān)于此準(zhǔn)則的補充問題 如果，那末當(dāng)收斂時，也收斂；如果，那末當(dāng)發(fā)散時，也發(fā)散. 例如：，而是收斂的. 注意：以上這兩個準(zhǔn)則來判定一個已知級數(shù)的斂散性，都需要另選一個收斂或發(fā)散的級數(shù)，. 準(zhǔn)則三：，那末當(dāng)λ＜1時級數(shù)收斂，λ＞1時級數(shù)收斂. 注意：.