山東省日照市20xx中考數(shù)學(xué)試卷及解析-資料下載頁
2025-08-05 04:40本頁面
【正文】 應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論；（Ⅱ）（1）由（1）得，PC 2=PA?PB，PC=12，AB=PA，即可求得PC 2=PA?PB=PA（PA+AB）=2PA2，繼而求得答案；（2）證法一：過點A作AF∥BC，交PD于點F，由平行線分線段成比例定理即可求得=，=，又由PC 2=PA?PB，即可證得結(jié)論；證法二：過點A作AG∥BC，交BC于點G，由平行線分線段成比例定理即可求得=，=，又由PC 2=PA?PB，即可證得結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)PB不經(jīng)過⊙O的圓心O時，等式PC 2=PA?PB仍然成立．證法一：如圖2﹣1，連接PO并延長交⊙O于點D，E，連接BD、AE，∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，∴△PBD∽△PEA，∴，即PA?PB=PD?PE，由圖1知，PC2=PD?PE，∴PC2=PA?PB．證法二：如圖2﹣2，過點C作⊙O的直徑CD，連接AD，BC，AC，∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥CD，∴∠CAD=∠PCD=90176。，即∠1+∠2=90176。，∠D+∠1=90176。，∴∠D=∠2．∵∠D=∠B，∴∠B=∠2，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，所以，即PC 2=PA?PB．（Ⅱ）由（1）得，PC2=PA?PB，PC=12，AB=PA，∴PC2=PA?PB=PA（PA+AB）=2PA2，∴2PA2=144，∴PA=177。6（負(fù)值無意義，舍去）．∴PA=6．（2）證法一：過點A作AF∥BC，交PD于點F，∴=，=．∵D為BC的中點，∴BD=CD，∴=，∴=．∵PC 2=PA?PB，∴===，即=．證法二：過點A作AG∥BC，交BC于點G，∴=，=．∵D為BC的中點，∴BD=CD，∴=，∴=．∵PC 2=PA?PB，∴===，即=．點評：此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理等知識．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 22．（14分）（2014?日照）如圖1，在菱形OABC中，已知OA=2，∠AOC=60176。，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過O，C，B三點．（Ⅰ）求出點B、C的坐標(biāo)并求拋物線的解析式．（Ⅱ）如圖2，點E是AC的中點，點F是AB的中點，直線AG垂直BC于點G，點P在直線AG上．（1）當(dāng)OP+PC的最小值時，求出點P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，連接PE、PF、EF得△PEF，問在拋物線上是否存在點M，使得以M，B，C為頂點的三角形與△PEF相似？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（Ⅰ）作CH⊥OA于點H，通過解三角函數(shù)求得A、C的坐標(biāo)，由菱形的性質(zhì)得出B點的坐標(biāo)，然后應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得解析式．（Ⅱ）（1）先求得拋物線的頂點坐標(biāo)和與x軸的另一個交點坐標(biāo)，當(dāng)OP+PC最小時，由對稱性可知，OP+PC=OB．由于OB是菱形ABCO的對角線，即可求得∠AOB=30176。，然后通過解直角三角函數(shù)即可求得AP的長，進(jìn)而求得P點的坐標(biāo)；（2）先求得△PEF是底角為30176。的等腰三角形，根據(jù)OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30176。，求得△OBC∽△BCD∽△PEF，又因為AQ=4，AG=3，BC=2，所以GQ=1，BG=，所以，tan∠BGQ==，即∠BGQ=30176。，得出△BQC也是底角為30176。的等腰三角形，即可求得符合條件的點M的坐標(biāo)．解答：解：（Ⅰ）如圖1，作CH⊥OA于點H，四邊形OABC是菱形，OA=2，∠AOC=60176。，OC=2，OH=sin60176。2=，CH=cos60176。2=3，A點坐標(biāo)為（2，0），C 點的坐標(biāo)為（，3），由菱形的性質(zhì)得B點的坐標(biāo)為（3，3）．設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)題意得，解得a=﹣，b=，c=0，所以，y=﹣x2+x．（Ⅱ）（1）如圖2，由（Ⅰ）知拋物線的解析式為：y=﹣x2+x，所以對稱軸為x=2，頂點為Q（2，4）．設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為D，令y=0，得，x2﹣4x=0，解得x1=0，x2=4，所以點D的坐標(biāo)為（4，0），∵點A的坐標(biāo)為（2，0），對稱軸為x=2，且AG⊥BC，直線AG為拋物線的對稱軸．∵B、C兩點關(guān)于直線AG對稱，當(dāng)OP+PC最小時，由對稱性可知，OP+PC=OB．即OB，AG的交點為點P，∵∠AOC=60176。，OB為菱形OABC的對角線，∴∠AOB=30176。，即AP=OAtan30176。=2=2，所以點P的坐標(biāo)為（2，2）．（2）連接OB，CD，CQ，BQ，由（1）知直線AG為拋物線的對稱軸，則四邊形ODBC是關(guān)于AG成軸對稱的圖形．∵點E是OB中點，點F是AB的中點，點P在拋物線的對稱軸上，∴PE=PF，EF∥OD，CQ=BQ∠PEF=∠BOA=30176。，即△PEF是底角為30176。的等腰三角形．在△OBC、△BCD中，OC=BC=BD=2，∠BOC=∠BDC=30176。，所以△OBC∽△BCD∽△PEF，所以，符合條件的點的坐標(biāo)為（0，0），（4，0）．又因為AQ=4，AG=3，BC=2，所以GQ=1，BG=，所以，tan∠BGQ==，即∠BGQ=30176。，△BQC也是底角為30176。的等腰三角形，Q點的（2，4），所以符合條件的點M的坐標(biāo)為（0，0），（4，0），（2，4）．點評：本題考查了直角三角函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定等；連接OB，CD，CQ，BQ，構(gòu)建相似三角形是本題的關(guān)鍵．
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