雙曲線性質(zhì)小結(jié)-資料下載頁
2025-08-05 04:18本頁面
【正文】 同理BC：。C點(diǎn)處的切線。分別聯(lián)立EF與AC，EF與AB，EF與C點(diǎn)處的切線得：。 由E，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線可知，D為EF的中點(diǎn)。46. 設(shè)，由雙曲線極坐標(biāo)方程：， 47. 由10可知為切線 由22: 。49.。51. 設(shè)，代入雙曲線方程得：由韋達(dá)定理得：由A、P、M三點(diǎn)共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線x=m上（mk），則當(dāng)時，∠APB最大，其正弦值為。=a,m=c ∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF=b時取等號。 53. k=,m= a ∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PA=時取等號。54. k=,m= c ∴sinα≤,當(dāng)且僅當(dāng)PF1=時取等號。55. 設(shè)∠AF2x=，則當(dāng)且僅當(dāng)=90176。時等號成立。56. （1）設(shè)，代入雙曲線方程得： ∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57. 由58可證。58.（1）易知PQ的斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上的點(diǎn)A都成立。設(shè)，A（m，0）代入雙曲線方程得：，則若，則（2）作P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，由（1）即證。，代入雙曲線方程得：，同理對傾斜角。當(dāng)a=b時，，此時或。當(dāng)時，設(shè)，則關(guān)于在上增至正無窮，在上單調(diào)減，在和之間先減后增，此時兩者異號。當(dāng)和時，當(dāng)為0或1時，有最小值。當(dāng)介于和之間時：等號成立時即。而故當(dāng)時，的最小值為。61,62,63為同一類問題，現(xiàn)給出公式：若點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之比，則P點(diǎn)的軌跡為一個圓，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。下三個題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。=c，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。=a，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。=，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64. 設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點(diǎn)的軌跡方程：。66.（1）同35。（2）由基本不等式（漸近線時取等號），則梯形面積趨近于一個最小值。，AD⊥于D。由雙曲線第二定義：∴AC過EF的中點(diǎn)。68.（1）由17可知當(dāng)雙曲線方程為時，AB過定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個單位，故此時AB過定點(diǎn)即（2）由69（2）P為原點(diǎn)，即m=n=0時Q的軌跡方程是（除原點(diǎn)）。69.（1）由17可知當(dāng)雙曲線方程為時，AB過定點(diǎn)。當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，定點(diǎn)也應(yīng)向右平移了個單位，故此時AB過定點(diǎn)即。（2）先證雙曲線中心在原點(diǎn)的情況。雙曲線方程為：，AB的斜率為。由17（1）：AB過定點(diǎn)，設(shè)AB：，PQ：兩者聯(lián)立得，則當(dāng)雙曲線方程變?yōu)闀r，雙曲線向右平移了個單位，圓心也應(yīng)向右平移了個單位，而半徑不變。故此時圓心的坐標(biāo)為即，半徑的平方仍為?！郠點(diǎn)的軌跡方程為（除P點(diǎn)）。70. 設(shè)L:Ax+By+C=0,則 將L代入雙曲線方程得：，且FF 2在異側(cè)直線L和雙曲線相切,或是雙曲線的漸近線；，且FF2在L異側(cè)直線和雙曲線相離；，或FF2在L同側(cè)直線L和雙曲線相交.71. 由35：聯(lián)立解得，消去參數(shù)得M點(diǎn)的軌跡方程為：72. 由43：?！逷在含焦點(diǎn)的一側(cè) ∴當(dāng)時，當(dāng)，即AB與實(shí)軸垂直時，；當(dāng)ab時，當(dāng)，即AB與實(shí)軸平行或重合時。無論a與b關(guān)系如何，均無最大值。 。 ，切線長分別為，同理可證P在其他位置情況。，由切線長定理2F1S=PF1+PF2+F1F2，PS=F1SPF1，所以PS=PQ=ca.76圖 77圖77. 設(shè)P，由79中得到的外點(diǎn)坐標(biāo)和22中的焦半徑公式：：。79. 設(shè)P，則內(nèi)角平分線（即切線），由此得內(nèi)點(diǎn)；同理外角平分線（即法線），由此得外點(diǎn)80. 由79中得到的內(nèi)外點(diǎn)坐標(biāo)可得：，即證。：，即證。 。 ,7即證。85. 設(shè)P，則內(nèi)角平分線（即切線），由50得：，則86. 由4即證。 。88. 由71：， 同理：，即兩焦點(diǎn)在以兩交點(diǎn)為直徑的圓上。89. 設(shè)P，則同理 ∴同理90. 設(shè)P，則 同理： 均推出P點(diǎn)的軌跡方程為。91. 設(shè)，則 92. 設(shè)P，則 由此得P點(diǎn)的軌跡方程為，即：或。
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