【正文】 分析】（1）要證明點D在⊙O上，則需要證明點D到圓心的距離OD要等于半徑，由折疊易知OD=OC；（2）證明BE為的⊙O切線，由切線判定定理可得需要證明∠ABE=90176。；易知∠ADB=90176。，由公共角∠BAE=∠DAB，則需要△ABE~△ADB，由AB2=ACAE和AC=AD可證明；（3）易知∠BDF=∠ADB=90176。，則△BDF是一個直角三角形，由勾股定理可得BD2+DF2=BF2 ， 而BD=BC=2，DF=DE+EF，EF就是要求的，不妨先設EF=x，看能否求出DE或都BF，求不出的話可用x表示出來，再代入BD2+DF2=BF2解得即可?！咎骄科?9. （2018年江蘇省泰州市?12分）對給定的一張矩形紙片ABCD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時發(fā)現(xiàn)點E恰好與點D重合（如圖②）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求的值；（2）將該矩形紙片展開．①如圖③，折疊該矩形紙片，使點C與點H重合，折痕與AB相交于點P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC=90176。；②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P點，要求只有一條折痕，且點P在折痕上，請簡要說明折疊方法．（不需說明理由）【分析】（1）依據(jù)△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；（2）①由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依據(jù)勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，進而得出AP=BC，再根據(jù)PH=CP，∠A=∠B=90176。，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），進而得到∠CPH=90176。；②由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；由∠BCE=∠PCH=45176。，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45176。，可得∠PCE=∠DCH，進而得到CP平分∠BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．【解答】解：（1）由圖①，可得∠BCE=∠BCD=45176。，又∵∠B=90176。，∴△BCE是等腰直角三角形，∴=cos45176。=，即CE=BC，由圖②，可得CE=CD，而AD=BC，∴CD=AD，∴=；（2）①設AD=BC=a，則AB=CD=a，BE=a，∴AE=（﹣1）a，如圖③，連接EH，則∠CEH=∠CDH=90176。，∵∠BEC=45176。，∠A=90176。，∴∠AEH=45176。=∠AHE，∴AH=AE=（﹣1）a，設AP=x，則BP=a﹣x，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，∴AH2+AP2=BP2+BC2，即[（﹣1）a]2+x2=（a﹣x）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又∵PH=CP，∠A=∠B=90176。，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH=∠BCP，又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC=90176。，∴∠APH+∠BPC=90176。，∴∠CPH=90176。；②折法：如圖，由AP=BC=AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿著過D的直線翻折，使點A落在CD邊上，此時折痕與AB的交點即為P；折法：如圖，由∠BCE=∠PCH=45176。，可得∠BCP=∠ECH，由∠DCE=∠PCH=45176。，可得∠PCE=∠DCH，又∵∠DCH=∠ECH，∴∠BCP=∠PCE，即CP平分∠BCE，故沿著過點C的直線折疊，使點B落在CE上，此時，折痕與AB的交點即為P．【點評】本題屬于折疊問題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等．解題時常常設要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．20. （2018年江蘇省宿遷）如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，動點E、F分別在邊AB、CD上，將正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M始終落在邊AD上（點M不與點A、D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，設BE=x，（1）當AM= 時，求x的值； （2）隨著點M在邊AD上位置的變化，△PDM的周長是否發(fā)生變化？如變化，請說明理由；如不變，請求出該定值； （3）設四邊形BEFC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達式，并求出S的最小值. 【答案】（1）解：由折疊性質(zhì)可知：BE=ME=x，∵正方形ABCD邊長為1∴AE=1x，在Rt△AME中，∴AE2+AM2=ME2 ， 即（1x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）解：△PDM的周長不會發(fā)生變化，且為定值2.連接BM、BP，過點B作BH⊥MN，∵BE=ME，∴∠EBM=∠EMB，又∵∠EBC=∠EMN=90176。，即∠EBM+∠MBC=∠EMB+∠BMN=90176。，∴∠MBC=∠BMN，又∵正方形ABCD，∴AD∥BC，AB=BC，∴∠AMB=∠MBC=∠BMN，在Rt△ABM和Rt△HBM中，∵ ,∴Rt△ABM≌Rt△HBM（AAS），∴AM=HM，AB=HB=BC，在Rt△BHP和Rt△BCP中，∵ ,∴Rt△BHP≌Rt△BCP（HL），∴HP=CP，又∵C△PDM=MD+DP+MP， =MD+DP+MH+HP， =MD+DP+AM+PC, =AD+DC, =2.∴△PDM的周長不會發(fā)生變化，且為定值2.（3）解：過F作FQ⊥AB，連接BM，由折疊性質(zhì)可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，∴∠EBM+∠BEF=∠EMB+∠MEF=∠QFE+∠BEF=90176。,∴∠EBM=∠EMB=∠QFE，在Rt△ABM和Rt△QFE中，∵ ,∴Rt△ABM≌Rt△QFE（ASA），∴AM=QE，設AM長為a，在Rt△AEM中，∴AE2+AM2=EM2,即（1x）2+a2=x2,∴AM=QE= ,∴BQ=CF=x ，∴S= （CF+BE）BC， = （x +x）1， = （2x ）,又∵（1x）2+a2=x2,∴x= =AM=BE，BQ=CF= a，∴S= （ a+ ）1， = （a2a+1）, = （a ）2+ ，∵0a1，∴當a= 時，S最小值= . 【考點】二次函數(shù)的最值，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題） 【解析】【分析】（1）由折疊性質(zhì)可知BE=ME=x，結合已知條件知AE=1x，在Rt△AME中，根據(jù)勾股定理得（1x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）△PDM的周長不會發(fā)生變化，、BP，過點B作BH⊥MN，根據(jù)折疊性質(zhì)知BE=ME，由等邊對等角得∠EBM=∠EMB，由等角的余角相等得∠MBC=∠BMN，由全等三角形的判定AAS得Rt△ABM≌Rt△HBM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM=HM，AB=HB=BC，又根據(jù)全等三角形的判定HL得Rt△BHP≌Rt△BCP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得HP=CP，由三角形周長和等量代換即可得出△PDM周長為定值2.（3）過F作FQ⊥AB，連接BM，由折疊性質(zhì)可知：∠BEF=∠MEF,BM⊥EF，由等角的余角相等得∠EBM=∠EMB=∠QFE，由全等三角形的判定ASA得Rt△ABM≌Rt△QFE，據(jù)全等三角形的性質(zhì)得AM=QE；設AM長為a，在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理得（1x）2+a2=x2,從而得AM=QE= ,BQ=CF=x ，根據(jù)梯形得面積公式代入即可得出S與x的函數(shù)關系式；又由（1x）2+a2=x2,得x= =AM=BE，BQ=CF= a（0a1），代入梯形面積公式即可轉(zhuǎn)為關于a的二次函數(shù)，配方從而求得S的最小值.【參考答案】適 合 孩 子 的，才 是 好 的 教 育 44