【文章內容簡介】 =180176。﹣2∠2=30176。，BE=KE、KF=FC，如圖，過點K作KM⊥BC于點M，設KM=x，則EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的長為3++．【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．8. （2018湖南省常德3分）如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點B落在AD邊上的點G處，點C落在點H處，已知∠DGH=30176。，連接BG，則∠AGB=　75176?！。痉治觥坑烧郫B的性質可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90176。，從而可證明∠EBG=∠EGB．，然后再根據∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行線的性質可知∠AGB=∠GBC，從而易證∠AGB=∠BGH，據此可得答案．【解答】解：由折疊的性質可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90176。，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30176。，∴∠AGH=150176。，∴∠AGB=∠AGH=75176。，故答案為：75176。．【點評】本題主要考查翻折變換，解題的關鍵是熟練掌握翻折變換的性質：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．三、解答與計算題：9. （2018廣東7分）如圖，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根據矩形的性質可得出AD=BC、AB=CD，結合折疊的性質可得出AD=CE、AE=CD，進而即可證出△ADE≌△CED（SSS）；（2）根據全等三角形的性質可得出∠DEF=∠EDF，利用等邊對等角可得出EF=DF，由此即可證出△DEF是等腰三角形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折疊的性質可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質、翻折變換以及矩形的性質，解題的關鍵是：（1）根據矩形的性質結合折疊的性質找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性質找出∠DEF=∠EDF．10. （2018?山東棗莊?10分）如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點D落在BC邊的點E處，過點E作EG∥CD交AF于點G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）探究線段EG、GF、AF之間的數量關系，并說明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的長．【分析】（1）先依據翻折的性質和平行線的性質證明∠DGF=∠DFG，從而得到GD=DF，接下來依據翻折的性質可證明DG=GE=DF=EF；（2）連接DE，交AF于點O．由菱形的性質可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下來，證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質可證明DF2=FO?AF，于是可得到GE、AF、FG的數量關系；（3）過點G作GH⊥DC，垂足為H．利用（2）的結論可求得FG=4，然后再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）證明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性質可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四邊形EFDG為菱形．（2）EG2=GF?AF．理由：如圖1所示：連接DE，交AF于點O．∵四邊形EFDG為菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90176。，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO?AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF?AF．（3）如圖2所示：過點G作GH⊥DC，垂足為H．∵EG2=GF?AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【點評】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到DF2=FO?AF是解題答問題（2）的關鍵，依據相似三角形的性質求得GH的長是解答問題（3）的關鍵．【能力篇】一、選擇題：11. （2018遼寧省阜新市）如圖，將等腰直角三角形ABC（∠B=90176。）沿EF折疊，使點A落在BC邊的中點A1處，BC=8，那么線段AE的長度為( )．A．4　　　　　　B．5　　　　　C．6　　　　　D．7【解答】解：由折疊的性質可得AE=A1E．∵△ABC為等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1為BC的中點，∴A1B=4，設AE=A1E=x，則BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5． 故答案為：5．故選B12. （2018四川省攀枝花3分）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結AP并延長AP交CD于F點，連結CP并延長CP交AD于Q點．給出以下結論：①四邊形AECF為平行四邊形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC為等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正確結論的個數為（　?。〢．1　　　　　　B．2　　　　　　C．3　　　　　　D．4解：①如圖，EC，BP交于點G；∵點P是點B關于直線EC的對稱點，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵點E為AB中點，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180176。，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180176。，∴∠PAB+∠PBA=90176。，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，故①正確；②∵∠APB=90176。，∴∠APQ+∠BPC=90176。，由折疊得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90176。，∴∠ABP=∠APQ，故②正確；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是鈍角，當△BPC是等邊三角形，即∠BCE=30176。時，才有∠FPC=∠FCP，如右圖，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正確；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90176。，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90176。，∠FAD=∠ABP，當BP=AD或△BPC是等邊三角形時，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正確；其中正確結論有①②，2個． 故選B．13. （2018湖北省武漢3分）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經過AB的中點D．若⊙O的半徑為，AB=4，則BC的長是（　　）A． B．C． D．【分析】連接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如圖，利用垂徑定理得到OD⊥AB，則AD=BD=AB=2，于是根據勾股定理可計算出OD=1，再利用折疊的性質可判斷弧AC和弧CD所在的圓為等圓