專題：二次函數(shù)背景下的圖形變換問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2025-08-05 02:35本頁(yè)面
【正文】 該拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且a=﹣． ①求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式； ②連結(jié)CD，問(wèn)：在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（1，1），點(diǎn)Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍．【解答】解：（1）①過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1，∵∠DBF+∠ABO=90176。，∠BAO+∠ABO=90176。，∴∠DBF=∠BAO，又∵∠AOB=∠BFD=90176。，AB=BD，在△AOB和△BFD中，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF=BO=1，BF=AO=2，∴D的坐標(biāo)是（3，1），根據(jù)題意，得a=﹣，c=0，且a32+b3+c=1，∴b=，∴該拋物線的解析式為y=﹣x2+x；②∵點(diǎn)A（0，2），B（1，0），點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴C（，1），∵C、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為1，∴CD∥x軸，∴∠BCD=∠ABO，∴∠BAO與∠BCD互余，要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，﹣x2+x），（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，則tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，∴﹣x2+x=，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）；（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的下方時(shí)，過(guò)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖3則tan∠POB=tan∠BAO，即=，∴=，解得x1=0（舍去），x2=，∴﹣x2+x=﹣，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；綜上，在拋物線上是否存在點(diǎn)P（，）或（，﹣），使得∠POB與∠BCD互余．（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)E、D，代入可得，解得，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．分兩種情況：①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向下時(shí)，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，則點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)．（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，直線OQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的Q有2個(gè)；（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜﹣；②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開(kāi)口向上時(shí)，點(diǎn)Q在x軸的上、下方各有兩個(gè)，（i）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的上方時(shí)，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)；（ii）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸的下方時(shí)，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，符合條件的點(diǎn)Q才兩個(gè)．根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠QOB=∠BAO，∴tan∠QOB=tan∠BAO==，此時(shí)直線OQ的斜率為﹣，則直線OQ的解析式為y=﹣x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以△=（﹣4a+）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+＞0，解得a＞（a＜舍去）綜上所示，a的取值范圍為a＜﹣或a＞．【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)，最小值等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．
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