理想不可壓縮流體的平面勢(shì)流和旋渦運(yùn)動(dòng)-資料下載頁(yè)
2025-08-04 22:45本頁(yè)面
【正文】 二、點(diǎn)渦＋點(diǎn)匯 （ 螺旋流 ） ln22Q r???? ?? ? ?ln22Q r?? ?? ?? ? ?勢(shì)函數(shù)： 流函數(shù)： ? ?? /Qr c e流線方程 ： 等勢(shì)線族和流線族是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線族，故稱為螺旋流。 三、偶極子流 將強(qiáng)度為－ Q的點(diǎn)匯放在坐標(biāo)原點(diǎn)的右邊，強(qiáng)度為 Q的點(diǎn)源放在坐標(biāo)原點(diǎn)的左邊， ? ? ? ?? ? ? ?l n l n ( l n l n )2 2 2AB A B A BQ Q Qr r r r? ? ????()2 ABQ當(dāng)兩點(diǎn)無(wú)限靠近所形成的流動(dòng)稱偶極流。 φ函數(shù)、 ψ函數(shù) ???????2 2 2cos2 ( ) 2M x M rx y r?????????2 2 2sin2 ( ) 2M y M rx y r式中 M 稱為偶極矩，為常數(shù) . 分別令 φ＝ c 和 ψ=c 可得流線和等勢(shì)線。 如令 ψ=c 有 : ?? ??222 ( )My cxy解得： ??? ? ?2 2 2( ) ( )44MMxycc?()4Mc ?(0, )4Mc ??(0, )4Mc這是圓心在 y軸上，與原點(diǎn)相切，半 徑為 的圓，圓心在 Φ=c Ψ＝ c x y 這種流動(dòng)就好像流體在一個(gè)圓柱里面流動(dòng)，故用偶極流來(lái)模擬圓柱表面。 四、均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng) 將均勻直線流和偶極子疊加 ,可模擬平行流繞圓柱體的流動(dòng) . 零流線 勢(shì)函數(shù) 流函數(shù) ??? ????221( 1 )2MVxV xy??? ????221( 1 )2MVyV xy令 稱為 零流線， 有 0? ??? ??? ?221( 1 ) 02MVyV xy解得： 2202My x yV? ?? ? ?零流線是由 x軸和以原點(diǎn)為圓心，半徑為 的圓組成，由于流線不能相交，故可把零流線模擬圓柱的固體表面。 0 2r M V? ??0 2r M V? ??由 有 202M V r? ???? ???202c o s ( 1 )rVrr?? ???202sin ( 1 )rVrr代入 φ、 ψ表達(dá)式： 速度場(chǎng) 202( 1 ) c osrrVVrr? ???? ? ??2021 ( 1 ) si nrVVrr?? ?? ??? ? ? ??在圓柱面上 0rr?0rV ?2 s inVV? ????徑向速度為零，說(shuō)明流體沒(méi)有脫離圓柱表面，緊貼在柱面上。切向速度滿足正弦函數(shù)關(guān)系，與半徑無(wú)關(guān)。 當(dāng) 和 時(shí)， 0???0rVV ??? 0,?即 是駐點(diǎn) 2?? ??當(dāng) 時(shí)， m a x02rV V V V? ?? ? ?柱面上的速度以 x 軸 y 和軸對(duì)稱。 環(huán)量 2220200( 1 ) s i nrV d s V r d V r dr???? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ?在流場(chǎng)中圍繞圓柱體任取一封閉周線做環(huán)量： 2 202 0( 1 ) si n 0rV r dr????? ? ? ? ? ??故稱平行流繞圓柱的流動(dòng)為無(wú)環(huán)流。 壓力分布 在圓柱面上任取一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫(xiě)能量方程： 2 222Vp p Vg g g g?????? ? ?式中 2 s inVV? ????22(1 4 s in )2p p V? ???? ? ?故 用壓力系數(shù) 來(lái)表示壓力分布 pc221 4 si n12pppcV?????? ? ? pc與 r無(wú)關(guān) 在柱面上，當(dāng) 和 時(shí)， 0???1pc ?m a x m i np p V V??當(dāng) 時(shí)， 2?? ?? 3pc ??m i n m a xp p V V??壓力按正弦函數(shù)分布，上下對(duì)稱 （ x軸 ） 左右對(duì)稱 （ y軸 ）， 在圓柱面上的合力為零。如圖： 0rd? ds rd??0dF pr d???箭頭朝外 為負(fù)，箭頭朝里 為正。 pcpc在圓柱面上取一微元面積 ，其上作用的力為 ， 可分解為 ds rd??0d F p r d ???dF0 c o sxd F p r d????0 sinyd F p r d????將 代入上兩式積分 22(1 4 s in )2p p V? ???? ? ?2 2200 ( 1 4 s i n 0) c o s2DxF r p V dF? ? ? ? ?????? ? ? ? ????? ??2 2200 ( 1 4 s i n 0) s i n2LyF r p V dF? ? ? ? ?????? ? ? ? ????? ??即在圓柱體上既無(wú)垂直來(lái)流的升力，也無(wú)與來(lái)流平行的阻力。這一理論推導(dǎo)的結(jié)果與實(shí)際情況矛盾，稱為“達(dá)朗貝爾疑題”。 沒(méi)有阻力的原因是沒(méi)有考慮流體的粘性所引起的摩擦力 。沒(méi)有升力是由于物體的對(duì)稱性，使得流場(chǎng)相對(duì)于 x軸對(duì)稱。 五、均勻流繞圓柱體有環(huán)量流動(dòng) 由平行流＋偶極子＋環(huán)流組成 ,可模擬平行流繞旋轉(zhuǎn)圓柱的流動(dòng) . φ、 ψ 20( ) s i n l n2rV r rr?????? ? ?20( ) c o s2rVrr? ? ????? ? ?勢(shì)函數(shù)： 流函數(shù)： 202( 1 ) c osrrVVrr? ???? ? ??2021 ( 1 ) si n2rVVr r r?? ??????? ? ? ? ??在柱面上 0rr?0rV ?02 s i n2VVr?????? ? ?徑向速度為零，說(shuō)明流體沒(méi)有脫離柱面，物體表面仍是一條流線。 求駐點(diǎn)：令 有 0rV ?0V? ?0s i n4 rV?? ????有如圖三種情況： ，駐點(diǎn)在流場(chǎng)中。 0s in 4 rV? ????? ： 在圓柱面上任取一點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)寫(xiě)能量方程： 2 222Vp p Vg g g g?????? ? ?220( 2 s i n )22p p V Vr? ??? ? ??? ?? ? ? ?????式中 02 s i n2VVr?????? ? ?故 作用在圓柱上的合力： 如圖： 0rd? ds rd??0dF pr d???200 c os 0DxF p rF d? ??? ? ? ??200 si nLy pFVF r d? ?? ???? ??? ?即 LF V L? ???這就是著名的 儒可夫斯基升力定理 。由此可知繞圓柱的有環(huán)流 無(wú)阻力但有升力 無(wú)阻力的原因仍是沒(méi)有考慮粘性。有升力的 L圓柱體長(zhǎng)度 原因是流場(chǎng)相對(duì)于 x軸不對(duì)稱，在圓柱體的上表面，平行流與環(huán)流的速度同向，和速度增加，壓力下降；在圓柱體的下表面，平行流與環(huán)流的速度反向，和速度下降，壓力增加，故作用在圓柱體上有一個(gè)向上的力。 ?升力方向的確定： 將來(lái)流速度 的方向逆 的方向轉(zhuǎn) 90176。 ，即為升力的方向 ?V機(jī)翼壓強(qiáng)分布 例： 直徑為 ，長(zhǎng)為 50m 的圓柱體以 90 r/min 繞其軸順時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣流以 80 km/h 的速度沿與圓柱體軸相垂直的方向繞流柱體。試求速度環(huán)量、升力大小及方向。設(shè)流體是理想流體 31 .2 0 5 /k g m?
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