橢圓的簡單幾何性質測試卷-資料下載頁
2025-08-04 17:12本頁面
【正文】 義轉化后，過向相應準線作垂線段．巧用焦點半徑與點準距互化是解決有關問題的重要手段．典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數方程；(2)求橢圓內接矩形的最大面積．分析：本題考查橢圓的參數方程及其應用．為簡化運算和減少未知數的個數，常用橢圓的參數方程表示曲線上一點坐標，所求問題便化歸為三角問題．解：(1) ．(2)設橢圓內接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設為矩形在第一象限的頂點，則故橢圓內接矩形的最大面積為12．說明：通過橢圓參數方程，轉化為三角函數的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關的最值問題，用參數方程形式較簡便．典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關．分析：不失一般性，可以設橢圓方程為（），（）．思路一：根據題設容易想到兩條直線的夾角公式，即，設，，化簡可得．又，兩方程聯立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁．思路二：利用焦半徑公式，在中運用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積．思路三：利用正弦定理、余弦定理，結合求解．解：(法1)設橢圓方程為（），，，則，．在中，由余弦定理得，解得．(1)∵，∴，即．∴．故橢圓離心率的取范圍是．(2)將代入得，即．∴．即的面積只與橢圓的短軸長有關．(法2)設，，則．(1)在中，由正弦定理得．∴∵，∴，∴．當且僅當時等號成立．故橢圓離心率的取值范圍是．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面積與橢圓短軸長有關．說明：橢圓上的一點與兩個焦點，構成的三角形為橢圓的焦點三角形，涉及有關焦點三角形問題，通常運用三角形的邊角關系定理．解題中通過變形，使之出現的結構，這樣就可以應用橢圓的定義，從而可得到有關，的關系式，使問題找到解決思路．典型例題二十例20 橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點，為動點，可以點坐標作為參數，把，轉化為點坐標的一個等量關系，再利用坐標的范圍建立關于、的一個不等式，轉化為關于的不等式．為減少參數，易考慮運用橢圓參數方程．解：設橢圓的參數方程是，則橢圓上的點，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使．如何證明？第 20 頁 共 20
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