橢圓的簡單幾何性質(zhì)測(cè)試卷-資料下載頁
2025-08-04 17:12本頁面
【正文】 義轉(zhuǎn)化后，過向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段．巧用焦點(diǎn)半徑與點(diǎn)準(zhǔn)距互化是解決有關(guān)問題的重要手段．典型例題十八例18 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用．為簡化運(yùn)算和減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題．解：(1) ．(2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對(duì)稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點(diǎn)，則故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12．說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便．典型例題十九例19 已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且．(1)求橢圓離心率的取值范圍；(2)求證的面積與橢圓短軸長有關(guān)．分析：不失一般性，可以設(shè)橢圓方程為（），（）．思路一：根據(jù)題設(shè)容易想到兩條直線的夾角公式，即，設(shè)，，化簡可得．又，兩方程聯(lián)立消去得，由，可以確定離心率的取值范圍；解出可以求出的面積，但這一過程很繁．思路二：利用焦半徑公式，在中運(yùn)用余弦定理，求，再利用，可以確定離心率的取值范圍，將代入橢圓方程中求，便可求出的面積．思路三：利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合求解．解：(法1)設(shè)橢圓方程為（），，，則，．在中，由余弦定理得，解得．(1)∵，∴，即．∴．故橢圓離心率的取范圍是．(2)將代入得，即．∴．即的面積只與橢圓的短軸長有關(guān)．(法2)設(shè)，，則．(1)在中，由正弦定理得．∴∵，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故橢圓離心率的取值范圍是．(2)在中，由余弦定理得：∵，∴，即．∴．即的面積與橢圓短軸長有關(guān)．說明：橢圓上的一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)，構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及有關(guān)焦點(diǎn)三角形問題，通常運(yùn)用三角形的邊角關(guān)系定理．解題中通過變形，使之出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，這樣就可以應(yīng)用橢圓的定義，從而可得到有關(guān)，的關(guān)系式，使問題找到解決思路．典型例題二十例20 橢圓與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？第 20 頁 共 20
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