【正文】 量的最大項(xiàng)，每個(gè)最大項(xiàng)有 n個(gè)相鄰項(xiàng)。 ?由于針對一組變量的取值，必有一個(gè)最大項(xiàng)的取值為 0，而其他最大項(xiàng)的取值都是 1，所以全部最大項(xiàng)的邏輯與恒為 0。而任意兩個(gè)最大項(xiàng)的邏輯或恒為 1。 邏輯函數(shù)的表示方法 ② 最大項(xiàng)表達(dá)式 如果一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式是由最大項(xiàng)構(gòu)成的或與式，則這種表達(dá)式稱為邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式，也叫標(biāo)準(zhǔn)或與式。例如： F＝ (A39。?B?C)(A39。?B39。?C39。)(A?B?C) 是一個(gè)三變量的最大項(xiàng)表達(dá)式。 最大項(xiàng)表達(dá)式也可以采用簡寫的方式，例如： F(A,B,C)＝ (A?B39。?C)(A39。?B?C) ＝ M2M 4＝ ∏M(2,4) 邏輯函數(shù)的表示方法 ? 要寫出一個(gè)邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式，最簡單的方法仍是先給出邏輯函數(shù)的真值表，將真值表中能使邏輯函數(shù)取值為 0的各個(gè)最大項(xiàng)相與就可以了。 ? 【 例 135】 己知三變量邏輯函數(shù) F=AB十 C，寫出 F的最大項(xiàng)表達(dá)式。 A B C F 0 0 0 0 A+B+C 0 0 1 1 0 1 0 0 A+B39。+C 0 1 1 1 1 0 0 0 A39。+B+C 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 F＝ (A+B+C)(A+B39。+C)(A39。+B+C) =M0M2M4 =∏M(0,2,4) ③ 最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系 三變量的邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)和最大項(xiàng) A B C 最小項(xiàng)及編號 最大項(xiàng)及編號 0 0 0 A39。B39。C39。 m0 A+B+C M0 0 0 1 A39。B39。C m1 A+B+C39。 M1 0 1 0 A39。BC39。 m2 A+B39。+C M2 0 1 1 A39。BC m3 A+B39。+C39。 M3 1 0 0 AB39。C39。 m4 A39。+B+C M4 1 0 1 AB39。C m5 A39。+B+C39。 M5 1 1 0 ABC39。 m6 A39。+B39。+C M6 1 1 1 ABC m7 A39。+B39。+C39。 M7 對同一個(gè)邏輯函數(shù)來說，編號相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)有著互補(bǔ)的關(guān)系。即 ：mi=Mi39。 Mi=mi39。 邏輯函數(shù)的表示方法 ? 【 例 136】 已知三變量邏輯函數(shù)的最大項(xiàng) M6 =A39。+B39。+C，求： m6=？ 解： m6=M639。= (A39。+B39。+C)39。=ABC39。 ? 【 例 137】 已知三變量的邏輯函數(shù)F=AB+A39。C+BC39。=∑m(1,2,3,6,7)， 寫出 F用最大項(xiàng)表示的邏輯函數(shù)。 解：先求出 F的反函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式 F39。=(AB+A39。C+BC39。) 39。=m0+m4+m5 再對 F的反函數(shù)求反 (F39。)39。= (m0+m4+m5) 39。=M0M4M5 邏輯函數(shù)的表示方法 ? 【 例 138】 在 【 例 135】 中 F＝ ∏M(0,2,4)， 寫出 F的最小項(xiàng)表達(dá)式。 解：列出該邏輯函數(shù)的真值表，從表中可以直接看出 F的最小項(xiàng)表達(dá)式應(yīng)為F=∑m(1,3,5,6,7)。 A B C F(最大項(xiàng)表示 ) F(最小項(xiàng)表示 ) 0 0 0 0 A+B+C 0 0 0 1 1 1 A39。B39。C 0 1 0 0 A+B39。+C 0 0 1 1 1 1 A39。BC 1 0 0 0 A39。+B+C 0 1 0 1 1 1 AB39。C 1 1 0 1 1 ABC39。 1 1 1 1 1 ABC ? ?邏輯代數(shù)化簡法就是利用邏輯代數(shù)的基本公式和規(guī)則對給定的邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡。 ?常用的邏輯代數(shù)化簡法有吸收法、消去法、并項(xiàng)法、配項(xiàng)法。 ?⑴ 吸收法 吸收法是利用公式 A+AB＝ A，吸收多余的與項(xiàng)進(jìn)行化簡。例如： F=AB+ABCD+ABEF =AB(1+CD+EF) =AB F=A39。+A39。C+A39。BC39。+A39。DE39。=A39。 ? ⑵ 消去法 消去法是利用公式 A+A39。B＝ A+B，消去與項(xiàng)中多余的因子進(jìn)行化簡。例如： F=A39。+ABC =A39。+BC F=AB39。+B+A39。B =A+B+A39。B =A+B ?⑶ 并項(xiàng)法 并項(xiàng)法是利用公式 A十 A39。=1，把兩項(xiàng)并成一項(xiàng)進(jìn)行化簡。例如： F=ABC39。D十 (AB) 39。C39。D =(AB+(AB) 39。) C39。D =C39。D F=AB39。+ACD+A39。B39。+CD = (AB39。+A39。B39。)+(ACD+CD) = B39。+CD ?⑷ 配項(xiàng)法 配項(xiàng)法是利用公式 1=A+A39。，把一個(gè)與項(xiàng)變成兩項(xiàng)再和其他項(xiàng)合并，有時(shí)也添加 AA39。=0等多余項(xiàng)進(jìn)行化簡。例如： F=AB39。+A39。(AB)39。 = AB39。+A39。(AB)39。+AA39。 = (AB39。+ AA39。)+A39。(AB)39。 =A(A39。+B39。)+A39。(AB)39。 = A(AB)39。+A39。(AB)39。 = (AB)39。 ?有時(shí)對邏輯函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡，可以幾種方法并用，綜合考慮。例如： F=A39。BC+AB39。C+ABC39。+ABC =(A39。BC+ABC)+(AB39。C+ABC)+(ABC39。+ABC) =BC+AC+AB ? 卡諾圖 (Karnaugh Map)是邏輯函數(shù)的又一種表示方法，簡稱 K圖。它是一種根據(jù)最小項(xiàng) (或最大項(xiàng) )之間相鄰的關(guān)系畫出的一種方格圖，每個(gè)小方格代表邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng) (或最大項(xiàng) )。 由于卡諾圖能形象地表達(dá)最小項(xiàng)之間的相鄰關(guān)系，采用相鄰項(xiàng)不斷合并的方法就能對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。 ? ⑴ 卡諾圖的構(gòu)成 將 n個(gè)邏輯變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方格表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰，按照這一規(guī)則排列的幾何圖形稱為 n變量最小項(xiàng)的卡諾圖。由于 n個(gè)變量的邏輯函數(shù)有 2n個(gè)最小項(xiàng)，每個(gè)最小項(xiàng)對應(yīng)一個(gè)小方格，所以 n個(gè)變量的卡諾圖由 2n個(gè)小方格構(gòu)成。 ?① 二變量卡諾圖 ?兩個(gè)變量 A、 B可構(gòu)成 4個(gè)最小項(xiàng)，用四個(gè)相鄰的小方格表示。 ?② 三變量卡諾圖 三個(gè)變量 A、 B、 C可構(gòu)成 8個(gè)最小項(xiàng)，用 8個(gè)相鄰的小方格表示。 除任意兩個(gè)相鄰的列是相鄰的外，最左邊一列和最右邊一列也是相鄰的。 ③ 四變量卡諾圖 除任意相鄰的兩行是相鄰的外，最上邊一行和最下邊一行也是相鄰的。 四個(gè)變量 A、 B、 C、 D可構(gòu)成 16個(gè)最小項(xiàng)，用 16個(gè)相鄰的小方格表示。 ?④ 五變量卡諾圖 五個(gè)變量 A、 B、 C、 D、 E可構(gòu)成 32個(gè)最小項(xiàng)，用32個(gè)相鄰的小方格表示 。 ?綜合二變量到五變量卡諾圖的構(gòu)成方法，可以看出： ?變量每增加一個(gè)，小方格就增加一倍，當(dāng)變量增多時(shí)，卡諾圖迅速變大、變復(fù)雜，相鄰項(xiàng)也變得不很直觀，所以卡諾圖一般僅用于五個(gè)變量以下的邏輯函數(shù)化簡。 ?處在任何一行或一列兩端的最小項(xiàng)也僅有一個(gè)變量不同，所以它們也具有邏輯相鄰性。因此，從幾何位置上應(yīng)當(dāng)將卡諾圖看成是上下、左右閉合的圖形。 ?⑵ 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示 ?① 利用最小項(xiàng)表達(dá)式畫出卡諾圖 ?當(dāng)邏輯函數(shù)是以最小項(xiàng)形式給出時(shí)，可以直接將最小項(xiàng)對應(yīng)的卡諾圖小方格填 1，其余的填 0，或不填。例如對四變量的邏輯函數(shù) F＝ ∑m(0,4,6,11,13,15)，其卡諾圖如圖所示 。 ? ② 利用最大項(xiàng)表達(dá)式畫出卡諾圖 ?當(dāng)邏輯函數(shù)是以最大項(xiàng)形式給出時(shí)，可以直接將最大項(xiàng)對應(yīng)的卡諾圖小方格填 0，其余的填 1。例如對三變量的邏輯函數(shù) F＝ ∏M(0,1,3,7)，其卡諾圖如圖所示。 ?③ 其它情況下卡諾圖畫法 ? 當(dāng)邏輯函數(shù)是以真值表或波形圖給出時(shí)，可以將邏輯函數(shù)為 1的所有邏輯變量取值的組合相或，從而得到其最小項(xiàng)的表達(dá)式，然后畫卡諾圖。 ? 當(dāng)邏輯函數(shù)是以一般與或形式給出時(shí)，可以將每個(gè)與項(xiàng)覆蓋的小方格填 1，重復(fù)覆蓋時(shí)，只填一次。 ? 當(dāng)邏輯函數(shù)是以一般或與式形式給出時(shí)，可以將每個(gè)或項(xiàng)覆蓋的最大項(xiàng)對應(yīng)的小方格填 0，重復(fù)覆蓋時(shí)，只填一次。對那些或項(xiàng)沒有覆蓋的最大項(xiàng)對應(yīng)的小方格填 1。 ? 當(dāng)邏輯函數(shù)以其他表達(dá)式形式給出，如與或非、或與非形式，或者是多種形式的混合表達(dá)式，這時(shí)可將表達(dá)式變換成與或式再畫卡諾圖，也可以寫出表達(dá)式的真值表，利用真值表再畫出卡諾圖。 ?⑶ 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) ?利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的方法稱為卡諾圖化簡法或幾何化簡法。化簡時(shí)依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項(xiàng)可以合并，并消去不同因子。 ?用卡諾圖表示出邏輯函數(shù)后，化簡可分成三步進(jìn)行： 第一步：確定每個(gè)填 1的小方格及和它所有相鄰的填1的小方格。 相鄰包括：相接、相對、相重。在卡諾圖上緊挨著的小方格稱相接，在卡諾圖上一行或一列的兩頭的小方格稱相對，以對稱軸折疊時(shí)，重合的小方格稱相重。 第二步：用卡諾圈圈起具有相鄰關(guān)系的填 l的小方格。 畫卡諾圈的原則： 卡諾圈中填 1的小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)是 2的整數(shù)次冪，即2,4,8…… 。 ? 應(yīng)保證卡諾圈的個(gè)數(shù)最少 。即卡諾圈在滿足填 1的小方格的個(gè)數(shù)是 2的整數(shù)次冪的前提下，每個(gè)卡諾圈中小方格的數(shù)盡可能多。 ? 填 1的小方格可以處在多個(gè)卡諾圈中，每個(gè)卡諾圈中至少要有一個(gè)填 1的小方格在其他卡諾圈中沒有出現(xiàn)過。 ? 在卡諾圖上如果沒有可以合并的填 1的小方格，則邏輯函數(shù)不能化簡，例如 m8。 ?第三步：寫出最簡邏輯函數(shù)表達(dá)式 ? 根據(jù)在卡諾圖上畫出的卡諾圈情況，就可以寫出邏輯函數(shù)化簡后的表達(dá)式，每一個(gè)卡諾圈中的 2n個(gè)小方格可以用一個(gè)與項(xiàng)表示，如果一個(gè)填 1的小方格不和任何其他填 1的小方格相鄰，這個(gè)小方格也要用一個(gè)與項(xiàng)表示，最后將所有的與項(xiàng)或起來就是化簡后的邏輯表達(dá)式。 ? 由于卡諾圈的畫法在某些情況下不是唯一的，因此寫出的最簡邏輯表達(dá)式也不是唯一的。 ?【 例 139】 用卡諾圖將 F=AC39。+A39。C+BC39。+B39。C化簡為最簡與或式。 解：先將邏輯表達(dá)式寫成最小項(xiàng)表達(dá)式，即 F=∑m(1,2,3,4,5,6), 然后畫出卡諾圖。 F=AC39。+B39。C+A39。B F=AB39。+A39。C+BC39。 ?【 例 140】 用卡諾圖將F=ABC+ABD+AC39。D+C39。D39。+AB39。C+A39。CD39?；啚樽詈喤c或式。 F=A+D39。 ?⑸ 包含無關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡 ?不會(huì)出現(xiàn)或不允許出現(xiàn)的最小項(xiàng)稱為約束項(xiàng)，其值恒為 0。還有一些最小項(xiàng)，無論取值 0還是取值 1，對邏輯函數(shù)代表的功能都不會(huì)產(chǎn)生影響。那么，這些取值任意的最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)。 ?約束項(xiàng)和任意項(xiàng)統(tǒng)稱 無關(guān)項(xiàng) 。無關(guān)最小項(xiàng)在邏輯函數(shù)表達(dá)式中用 ∑d(…) 表示，在卡諾圖上用“ Φ”或“ ”表示，化簡時(shí)，既可代表 0，也可代表 1。 ?【 例 141】 用卡諾圖將含無關(guān)項(xiàng)的三變量邏輯函數(shù) F=∑m(0,1,2,4)+∑d(5,6) 化為最簡與或式。 F=B39。+C39。 ?【 例 142】 用卡諾圖將含無關(guān)項(xiàng)的四變量邏輯函數(shù)F=∑m(3,5,6,7,10) +∑d(0,1,2,4,8,9) 化為最簡與或式。 F=A39。+B39。D39。