【正文】 邏輯與數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì) 東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 電子科學(xué)與技術(shù)研究所 本課件所用教材 《 邏輯與數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì) 》 李晶皎 李景宏 曹陽編著 普通高等教育“十一五” 國家級(jí)規(guī)劃教材 清華大學(xué)出版社出版 2022年 5月第 1版 書號(hào)： ISBN 9877302168522 定價(jià)： 32元 第 1章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ) ?本章主要介紹數(shù)字電路中常用的幾種數(shù)制的 表示方法及其轉(zhuǎn)換規(guī)律，數(shù)字系統(tǒng)中常見的 幾種編碼及邏輯代數(shù)知識(shí)。 ?數(shù)制是指用一組固定的符號(hào)和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。 ?如果按照進(jìn)位的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)，則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制。 ?在進(jìn)位計(jì)數(shù)制中，數(shù)的表示涉及到兩個(gè)基本問題：權(quán)和基數(shù)。權(quán)是一個(gè)與相應(yīng)數(shù)位有關(guān)的常數(shù)，它與該數(shù)位的數(shù)碼相乘后，可得到該數(shù)位的數(shù)碼代表的數(shù)值。一個(gè)數(shù)碼處于不同的數(shù)位時(shí)，代表的數(shù)值不相同，因?yàn)樗鼡碛械臋?quán)不同。基數(shù)是一個(gè)正整數(shù)，它等于相鄰數(shù)位上權(quán)的比。 ?組成： 0、 9 ?進(jìn)位規(guī)則：逢十進(jìn)一 。 ?不同位置數(shù)的權(quán)不同 ， 可用 10i表示整數(shù)部分每一位的權(quán) ， 整數(shù)部分每一位的權(quán) ， 從右到左依次為 100， 101， 102， 103， 104， … ；對小數(shù)部分每一位的權(quán) ， 從左到右依次為101， 102， 103， 104， … 。 ?基數(shù) (radix 或 base)： 10。 ?對任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)，都可以用一個(gè)多項(xiàng)式形式表示，其中每一項(xiàng)表示相應(yīng)數(shù)位代表的數(shù)值。 ?例如，十進(jìn)制數(shù) ： ()10=1 103?2 102 ? 3 101 ? 4 100 ? 5 101 ? 6 102 ?任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù) D都可以表示為 D=?(Ai?10i) 式中 Ai是第 i 位的系數(shù)，它可以是 0～ 9這十個(gè)數(shù)碼中的任何一個(gè)。如果整數(shù)部分的位數(shù)是 n，小數(shù)部分的位數(shù)為 m，則 i 包含從 n1到 0的所有正整數(shù)和從 1到 m的所有負(fù)整數(shù)。 ?任意進(jìn)制 (R進(jìn)制 )按十進(jìn)制展開的一般形式 D=?(Ai?Ri) R為計(jì)數(shù)的基數(shù)， Ai為第 i 位的系數(shù)， Ri為第 i 位的權(quán)。 ?組成： 0、 1 ?進(jìn)位規(guī)則：逢二進(jìn)一 ?權(quán)值： 2i ?基數(shù)： 2 ?對任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù) D， 可以用一個(gè)多項(xiàng)式形式表示 ， 并可計(jì)算出它所表示的十進(jìn)制數(shù)的大小 D=?(Ai?2i) ?例如，二進(jìn)制數(shù) ： ()2=(1 23?1 22 ? 0 21 ? 1 20 ? 0 21 ? 1 22)10 和十六進(jìn)制數(shù) ?八進(jìn)制數(shù) 組成： 0、 7 進(jìn)位規(guī)則：逢八進(jìn)一 權(quán)值： 8i 基數(shù)： 8 對任意一個(gè)八進(jìn)制數(shù) D， 也可以用一個(gè)多項(xiàng)式形式表示 ， 并可計(jì)算出它所表示的十進(jìn)制數(shù)的大小 D=?(Ai?8i) 和十六進(jìn)制數(shù) ?例如，八進(jìn)制數(shù) ： ()8=(3 83?4 82 ? 5 81 ? 6 80 ? 1 81 ? 2 82)10 ?十六進(jìn)制數(shù) 組成： 0、 A、 B、 C、D、 E、 F 進(jìn)位規(guī)則：逢十六進(jìn)一 權(quán)值： 16i 基數(shù)： 16 ?對任意一個(gè)十六進(jìn)制數(shù) D，也可以用一個(gè)多項(xiàng)式形式表示，并可計(jì)算出它所表示的十進(jìn)制數(shù)的大小 。 D=?(Ai?16i) ?十六進(jìn)制數(shù) ： ?()16=(10 163?11 162 ? 12 161 ? ? 13 160 ? 14 161 ? 15 162)10 ? 對 R(R為正整數(shù) )進(jìn)位計(jì)數(shù)制的特點(diǎn)總結(jié)如下： 1. R進(jìn)位計(jì)數(shù)制的基數(shù)是 R，各數(shù)位能選用的數(shù)碼個(gè)數(shù)為 R，最大的數(shù)碼應(yīng)比基數(shù) R小 1。 2. 每一數(shù)位都有一個(gè)權(quán)，權(quán)是基數(shù) R的整次冪，冪大小取決于該數(shù)碼所在的位置，而相鄰兩數(shù)位權(quán)的比正好為基數(shù) R。 3. 每一個(gè)數(shù)位的數(shù)碼代表的數(shù)值，等于該數(shù)碼乘以該數(shù)位的權(quán)。 4. 計(jì)數(shù)規(guī)則是“逢 R進(jìn)一”。 因此，對任意一個(gè) R進(jìn)制數(shù) N都可表示成下面的形式： (N)R=(An Rn ? An1 Rn1 ? … ? A0 R0 ? A1 R1 ? … ? Am Rm)10 其中， Ai的取值只能是在允許的范圍內(nèi)，第 i位的權(quán)是Ri。等式左邊右括號(hào)下角的數(shù)表示進(jìn)制。 方法：按權(quán)相加。這種方法是按照十進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，將非十進(jìn)制數(shù)各位的數(shù)碼乘以對應(yīng)的權(quán)再累加起來。 一個(gè) R進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的過程可用下式表示： (An…A 0A1…A m)R=(An Rn ? … ? A0 R0 ? A1 R1 ? … ? Am Rm)10 【 例 11 】 將 ()2轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 解： ()2＝ (24+21+20+21+23)10 ＝ (16+2+1++)10 ＝ ()10 【 例 12】 將 ()8轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 解： ()8＝ (2 81 ? 4 80 ? 2 81)10 ＝ (16 ? 4 ? )10 ＝ ()10 【 例 13】 將 ()16轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)。 解： ()16＝ (A 161 ? 3 160 ? 4 161)10 ＝ (160 ? 3 ? )10 ＝ ()10 ?將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制數(shù)時(shí)，整數(shù)部分和小數(shù)部分要分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換一般采用除基取余法，小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換一般采用乘基取整法。 ⑴ 十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制整數(shù) ? R進(jìn)制整數(shù)都可寫成按權(quán)展開的多項(xiàng)式： (N)10=(An?Rn+An1 ? Rn1+…+A 1 ? R1+A0 ? R0)R ? 轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是尋找多項(xiàng)式每一項(xiàng)的系數(shù) An、 An1 、 … 、 A1 、 A0 ? 上式兩邊同除以基數(shù) R可得： (N/R)10=(An ? Rn1+An1 ? Rn2+…+A 1 ? R0)R+A0/R 【 例 14】 將 (288)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。 解： 288／ 2＝ 144 余數(shù)為 0， A0＝ 0 144／ 2＝ 72 余數(shù)為 0， A1＝ 0 72／ 2＝ 36 余數(shù)為 0， A2＝ 0 36／ 2＝ 18 余數(shù)為 0， A3＝ 0 18／ 2＝ 9 余數(shù)為 0， A4＝ 0 9／ 2＝ 4 余數(shù)為 1， A5＝ 1 4／ 2＝ 2 余數(shù)為 0， A6＝ 0 2／ 2＝ 1 余數(shù)為 0， A7＝ 0 1／ 2＝ 0 余數(shù)為 1， A8＝ 1 所以， (288)10＝ (100100000)2 【 例 15】 將 (62)10轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。 解： 62／ 8＝ 7 余數(shù)為 6， A0＝ 6 7／ 8＝ 0 余數(shù)為 7， A1＝ 7 所以， (62)10＝ (76)8 【 例 16】 將 (108)10轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。 解： 108／ 16＝ 6 余數(shù)為 12， A0＝ C 6／ 16＝ 0 余數(shù)為 6， A1＝ 6 所以， (108)10＝ (6 C)16 ⑵ 十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換成非十進(jìn)制小數(shù) R進(jìn)制小數(shù)寫成按權(quán)展開的多項(xiàng)式 ： (N)10=(A1? R1+A2? R2+…+A (n1) ? R(n1) +An? Rn)R 對上式兩邊同乘以基數(shù) R可得： (N ? R)10=A1+ (A2 ? R1+…+A (n1) ? R(n2) +An ? R(n1))R 【 例 17】 將 ()10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù) 解： 2＝ 1十 A1＝ 1 2＝ 0十 A2＝ 0 2＝ 1十 0 A3＝ 1 所以， ()10＝ ()2 【 例 18】 將 ()10轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。 解： 8＝ 6+ A1＝ 6 8＝ 4+0 A2＝ 4 所以， ()10＝ ()8 【 例 19】 將 ()10轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。 解： 16＝ 13+0 A1＝ D 所以， ()10＝ (0. D)16 ⑴ 二進(jìn)制數(shù)和八進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換 任意一位八進(jìn)制數(shù)可以轉(zhuǎn)換成三位二進(jìn)制數(shù)。當(dāng)要把一個(gè)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以直接將每位八進(jìn)制數(shù)碼轉(zhuǎn)換成三位二進(jìn)制數(shù)碼。而二進(jìn)制數(shù)到八進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換可按相反的過程進(jìn)行，轉(zhuǎn)換時(shí)，從小數(shù)點(diǎn)開始向兩邊分別將整數(shù)和小數(shù)每三位劃分成一組，整數(shù)部分的最高一組不夠三位時(shí)，在高位補(bǔ) 0，小數(shù)部分的最后一組不足三位時(shí)，在末位補(bǔ) 0，然后將每組的三位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成一位八進(jìn)制數(shù)即可。 【 例 110】 將 ()8轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。 解： 3 5 4 ． 7 2 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 011 101 100 ． 111 010 所以， ()8＝ ()2 【 例 111】 將 ()2轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制數(shù)。 解： 001 010 110 ． 010 100 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 6 ． 2 4 所以， ()2＝ ()8 ⑵ 二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換 ? 任意一位十六進(jìn)制數(shù)可以轉(zhuǎn)換成四位二進(jìn)制數(shù)。當(dāng)要把一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以直接將每位十六進(jìn)制數(shù)碼轉(zhuǎn)換成四位二進(jìn)制數(shù)碼。對二進(jìn)制數(shù)到十六進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換可按相反的過程進(jìn)行，轉(zhuǎn)換時(shí)，從小數(shù)點(diǎn)開始向兩邊分別將整數(shù)和小數(shù)每四位劃分成一組，整數(shù)部分的最高一組不夠四位時(shí)，在高位補(bǔ) 0，小數(shù)部分的最后一組不足四位時(shí)，在末位補(bǔ) 0，然后將每組的四位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成一位十六進(jìn)制數(shù)即可。 【 例 112】 將 ()16轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。 解： 8 E ． 3 A ↓ ↓ ↓ ↓ 1000 1110 ． 0011 1010