廣東省中山市20xx-20xx學(xué)年高二下學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題-資料下載頁
2024-11-11 06:35本頁面
【導(dǎo)讀】∵隨機變量X～B（8，p），且D=，確定函數(shù)y＝f的定義域；求導(dǎo)數(shù)y′＝f′；求導(dǎo)數(shù)y′＝f′，令f′＝0，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；本題選擇B選項.其概率為×[P﹣P]=×（﹣）=；即陰影部分的面積為；所以點落入圖中陰影部分的概率為p==；曲線在軸的上方，與軸不相交.將5本不同的書分成滿足題意的3組有1，1，3與2，2，1兩種，分成2、2、1時，根據(jù)分組公式90種分法，所以共有60+90=150種分法，數(shù)沒有限制，那么實際上是先分組后排列的問題，即分組方案數(shù)乘以不同對象數(shù)的全排列數(shù)。
【正文】 試題解析： （ 1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為 ，則 的取值分別為 1， 2， 3 ； ； ； 應(yīng)聘者甲正確完成題數(shù) 的分布列為 1 2 3 設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為 ，則 取值分別為 0， 1， 2， 3 ， 應(yīng)聘者乙正確完成題數(shù) 的分布列為： 0 1 2 3 . （或 ∵ ∴ ） （ 2）因為 ， 所以 綜上所述，從做對題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)； 從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定 ； 從至少完成 2道題的概率考查，甲獲得面試通過 的可能性大 21. 對于命題 ：存在一個常數(shù) ，使得不等式 對任意正數(shù) ， 恒成立 . （ 1）試給出這個常數(shù) 的值； （ 2）在（ 1）所得結(jié)論的條件下證明命題 ； （ 3）對于上述命題，某同學(xué)正確地猜想了命題 ： “ 存在一個常數(shù) ，使得不等式對任意正數(shù) ， ， 恒成立． ”觀察命題 與命題 的規(guī)律，請猜想與正數(shù) ， ， ， 相關(guān)的命題． 【答案】 （ 1） ；（ 2）詳見解析；（ 3）詳見解析 . 【解析】 試題分析：（ 1）取特值，定常數(shù) 的值 ；（ 2） 利用分析法證明命題 P。(3).猜想結(jié)論：存在一個常數(shù) ，使得不等式 對任意正數(shù) ， ， ， 恒成立 . 試題解析： （ 1）令 得： ，故 ； （ 2） 先證明 . ∵ ， ，要證上式，只要證 ， 即證 即證 ，這顯然成立 . ∴ . 再證明 . ∵ ， ，要證上式，只要證， 即證 即證 ，這顯然成立 . ∴ . （ 3）猜想結(jié)論：存在一個常數(shù) ，使得不等式 對任意正數(shù) ， ， ， 恒成立 . 22. 已知函數(shù) 存在兩個極值點． （ Ⅰ ）求實數(shù) a的取值范圍； （ Ⅱ ）設(shè) 和 分別是 的兩個極值點且 ，證明： ． 【答案】 （ 1） ；（ 2）詳見解析 . 【解析】 試題分析： （ Ⅰ ）對原函數(shù)求導(dǎo)，即該導(dǎo)函數(shù)在 有兩個不同根，對該導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)只有 一個 零點，分 a = 0， a 0， a 0 三種情況討論即可 . （ Ⅱ ）要證 ，即證 ． 由 得 ，得 . 所以原命題等價于證明 ． 因為 ，故只需證 ，即 令 ，則 ，設(shè) ， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值 與最值即可 . 試題解析：（ Ⅰ ）由題設(shè)函數(shù) 的定義域為 ， ，故函數(shù) 有兩個極值點等價于其導(dǎo)函數(shù) 在 有兩個零點． 當(dāng) a = 0時 ，顯然只有 1個零點 ．當(dāng) a≠ 0時，令 ，那么 ． 若 a 0，則當(dāng) x 0 時 ，即 單調(diào)遞增，所以 無兩個零點 . ? 3分 若 a 0，則當(dāng) 時 ， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時 ， 單調(diào)遞減，所以 . 又 ，當(dāng) x→ 0時 → ，故若有兩個零點，則 ，得 ． 綜上得，實數(shù) a 的取值范圍是 ． （ Ⅱ ）要證 ，兩邊同時取自然對數(shù)得 ． 由 得 ，得 . 所以原命題等價于證明 ． 因為 ，故只需證 ，即 令 ，則 ，設(shè) ，只需證 ． ? 10 分 而 ，故 在 單調(diào)遞增，所以 ． 綜上得 ． 點晴 :本題主要考查函數(shù)極值，不等式證明問題 .要求極值，求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)，分 a = 0， a 0，a 0 三種情況討論極值情況， 要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極 值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果 .
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