112----余弦定理-資料下載頁(yè)
2025-08-04 07:26本頁(yè)面
【正文】 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 1． 余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系 (1)對(duì)于余弦定理 c2＝ a2＋ b2－ 2abcos C中 ， 若 C＝ 90176。 ， 則 c2＝ a2＋ b2， 此即為勾股定理 ， 也就是說(shuō)勾股定理是余弦定理的特殊情況 ． (2)余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律 ， 也是解三角形的重要工具 ． ① 在余弦定理中 ， 每一個(gè)等式均含有四個(gè)量 ， 利用方程的觀點(diǎn) ， 可以知三求一 ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 ② 余弦定理也為求三角形的有關(guān)量 (如面積 、 外接圓 、 內(nèi)切圓等 )提供了工具 ， 它可以用來(lái)判定三角形的形狀 ， 證明三角形中的有關(guān)等式 ， 在一定程度上 ， 它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛 ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 [特別提醒 ] 在利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)時(shí)容易出現(xiàn)增解 ， 原因是余弦定理中涉及的是邊長(zhǎng)的平方 ， 求得結(jié)果常有兩解 ， 因此 ， 解題時(shí)需特別注意三角形三邊長(zhǎng)度所應(yīng)滿足的基本條件 ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 2． 解三角形問(wèn)題的類型 解三角形的問(wèn)題可以分為以下四類： (1)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角 ， 解三角形 ． 此種情況的基本解法是先由正弦定理求出另一條邊所對(duì)的角 ， 用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角 ， 再用正弦定理求出第三邊 ， 注意判斷解的個(gè)數(shù) ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 (2)已知三角形的兩角和任一邊 ， 解三角形 ． 此種情況的基本解法是若所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí) ， 可由正弦定理求另一邊 ， 再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角 ， 再由正弦定理求第三邊 . 若所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí) ， 先由三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角 ， 再由正弦定理求另外兩邊 ． (3)已知兩邊和它們的夾角 ， 解三角形 ． 此種情況的基本解法是先用余弦定理求第三邊 ， 再用正弦定理或余弦定理求另一角 ， 最后用三角形內(nèi)角和定理求第三個(gè)角 ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 (4)已知三角形的三邊 ， 解三角形 ． 此種情況的基本解法是先用余弦定理求出一個(gè)角 ， 再用正弦定理或余弦定理求出另一個(gè)角 ， 最后用三角形內(nèi)角和定理 ，求出第三個(gè)角 ． 要解三角形 ， 必須已知三角形的一邊的長(zhǎng) ． 若已知條件中一條邊的長(zhǎng)也不給出 ， 三角形可以是任意的 ， 因此無(wú)法求解 ． 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 ◎ 已知鈍角三角形的三邊 a＝ k， b＝ k＋ 2， c＝ k＋ 4， 求 k的取值范圍 ． 【錯(cuò)解】 ∵ c b a 且 △ ABC 為鈍角三角形， ∴ C 為鈍角． 由余弦定理得 c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝k2－ 4 k － 122 k ? k ＋ 2 ? 0. k2－ 4 k － 12 0 ，解得－ 2 k 6 ， ① 又 ∵ k 為三角形的邊長(zhǎng)， ∴ k 0 ， ② 故由 ①② 知 0 k 6. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 【 錯(cuò)因 】 忽略隱含條件 k＋ (k＋ 2)k＋ 4， 即 k2， 而不是 k0. 【正解】 ∵ c b a 且 △ ABC 為鈍角三角形， ∴ C 為鈍角． 由余弦定理得 c os C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝k2－ 4 k － 122 k ? k ＋ 2 ?0 ， k2－ 4 k － 12 0 ，解得－ 2 k 6 ， ③ 又由兩邊之和大于第三邊，得 k ＋ ( k ＋ 2) k ＋ 4 ， ∴ k 2 ，④ 由 ③④ 可知 2 k 6. 預(yù)習(xí)學(xué)案 課堂講義 課后練習(xí) 工具 第一章 解三角形 欄目導(dǎo)引 練考題、驗(yàn)?zāi)芰Α⑤p巧奪冠
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