【正文】 。，∠C=80176。，AD=2，BC=5，求CD的長。解：延長BA、CD交于點E。在△BCE中，∠B=50176。，∠C=80176。所以∠E=50176。，從而BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=EC－ED=5－2=3例8. 如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論. 解：四邊形ABCD是等腰梯形. 證明：延長AD、BC相交于點E，如圖所示. ∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA. ∴∠DAB＝∠CBA. ∴EA＝EB. 又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD. 而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180176。，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB. 又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形. （三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點E，求證：AD=DE。解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90176。，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。（四）、作梯形的高作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90176。，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點D作DG⊥AB于點G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。因為AB=2DC，所以AG=GB。從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。作兩條高例1在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60176。，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長；(2)梯形ABCD的面積．ABCDDEDFD解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形， EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中，∠B=60176。，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，∴例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求證：BDAC。證：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，則易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因為ABCD，AE=DF。所以由勾股定理得BECF。即BFCE。在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BDAC（五）、作中位線已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90176。，求證：AB＋CD=AD。證：取AD的中點E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①在△AOD中，∠AOD=90176。，AE=DE所以 ②由①、②得AB＋CD=AD。已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，求證：（1）EF//AD；（2）。證：連接DF，并延長交BC于點G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線從而EF//BG，且因為AD//BG，所以EF//AD，EF在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。例1在梯形ABCD中，AD∥BC， ∠BAD=900，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分別延長AE與BC ，并交于F點∵∠BAD=900且AD∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900 又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯角相等) ∠AED=∠FEC （對頂角相等）DE=EC （E點是CD的中點）∴△ADE≌△FCE （AAS） ∴ AE=FE在△ABF中∠FBA=900 且AE=FE∴ BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）∴ 在△FEB中 ∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBEABDCEF例1已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，理由如下：延長AE，與BC延長線交于點F．∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC， ∴BE=AE．例1已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點，EF⊥AB于F點，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．解：如圖，過E點作MN∥AB，分別交AD的延長線于M點，交BC于N點．ABCDEFMN∵DE=EC，AD∥BC∴△DEM≌△CNE四邊形ABNM是平行四邊形∵EF⊥AB，∴S梯形ABCD=S□ABNM=ABEF=15cm2．【模擬試題】（答題時間：40分鐘）1. 若等腰梯形的銳角是60176。，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長為__________cm. 2. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60176。，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長為（ ）A. 19 B. 20 C. 21 D. 223. 如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（ ）A. 130 B. 140 C. 150 D. 160*4. 如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長. 5. 如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60176。，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長. 6. 如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長. 7. 如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長.**8. 如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中點，且AD＋BC＝CD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點，則DE與CE有何位置關(guān)系？1．圓中作輔助線的常用方法：（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點，連結(jié)此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BD⊥OA于D，經(jīng)常是：①如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定理。②如圖1（下）延長AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得Rt△ABE。 圖1（上） 圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結(jié)果。（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。（10）對于圓的內(nèi)接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點，BD為AB的延長線，∠OAB=500，求∠CBD的度數(shù)。 解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500∵B是弧AC的中點∴弧AB=弧BC∴AB==BC又∵OA=OB=OC∴△AOB≌△BOC（） 圖2∴∠OBC=∠ABO=500∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800∴∠CBD=1800 500 500∴∠CBD=800答:∠CBD的度數(shù)是800.例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。 證明：連接AC，則∠DPA=∠C+∠A∴∠C的度數(shù)=弧AD的度數(shù)∠A的度數(shù)=弧BC的度數(shù)∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。 圖3 一、造直角三角形法△,常連接半徑例1. 過⊙O內(nèi)一點M ,最長弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM長。,常作直徑上的圓周角例2. AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,過D作⊙O的切線,交AC于E. 求證:CE = AE。,常作過切點的半徑例3 .割線AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求證:∠OAE = ∠OBF。,常構(gòu)造Rt△(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長)例4 .小 ⊙O1與大⊙O2外切于點A,外公切線BC、DE分別和⊙O⊙O2切于點B、C和D、E，并相交于P，∠P = 60176。求證：⊙O1與⊙O2的半徑之比為1：3；5．正多邊形相關(guān)計算常構(gòu)造Rt△例5.⊙O的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段例6. AB是⊙O的直徑,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求證:EC = DF。(2)若AE = 2,CD=BF=6,求⊙O的面積。三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形例7. AB是⊙O直徑,弦CD⊥AB,M是上一點,AM延長線交DC延長線于F.求證: ∠F = ∠ACM。四、切線的綜合運用1．已知過圓上的點，常_________________， 已知：⊙O1與⊙O2外切于P，AC是過P點的割線交⊙O1于A，交⊙O2于C，過點O1的直線AB ⊥： BC與⊙O2相切. ，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于E，過E點作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB于C點．求證：CD與⊙O相切于點E．,常___________________例10. 如圖，AB是半圓的直徑， AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求證: 直線MN與半圓相切；△ABC中,AB=AC,以底邊中點D為圓心的圓切AB邊于E點. 求證:AC與⊙D相切。例12．菱形ABCD兩對角線交于點O，⊙O與AB相切。求證：⊙O也與其他三邊都相切；五、兩圓相關(guān)題型1．兩圓相交作_____________________例13.⊙O1與⊙O2相交于A、B，過A點作直線交⊙O1于C點、交⊙O2于D點，過B點作直線交⊙O1于E點、交⊙O2于F點.求證:CE∥DF。例14. ⊙O1與⊙O2外切于點P,過P點的直線分別交⊙O1與⊙O2于A、B兩點，AC切⊙O1于A點，BC交⊙O2于D點。求證：∠BAC = ∠BDP；3．兩圓或三圓相切作_________________=6為直徑作半⊙O,再分別以O(shè)A、OB為直徑在半⊙O內(nèi)作半⊙O1與半⊙O2，又⊙O3與三個半圓兩兩相切。求⊙O3的半徑；4．一圓過另一圓的圓心，作____________⊙O1與⊙O2相交于A、B 兩點，且⊙O1過點O2，過B點作直線交⊙O1于C點、交⊙O2于D點.求證：△ACD是等邊三角形；六、開放性題目例17．已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點，且過點的切線平分邊．（1）與是否相切？請說明理由；（第23題）（2）當(dāng)滿足什么條件時，以點，，為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由．新文章哦 劉項原來不讀書 (魏伯河) 高考恢復(fù)三十年回顧：幾多歡欣幾多愁 () 萬寧調(diào)研（二）——大茂初級中學(xué) (吳益平) 如何引導(dǎo)學(xué)生開口說 (梁珠) 高考改革三十年：在迷霧中尋找方向 () 我要做太陽 (☆無淚￠淚痕) 上海是怎樣取得高考自主權(quán)的 () 教學(xué)拾萃（一） (文昌市會文中心小學(xué) 華春雨)1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時間，總會看清一些事。用一些事情，總會看清一些人。有時候覺得自己像個神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過后，才知道許多事情，堅持堅持，就過來了。4. 歲月是無情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻給她的是一些色彩，它奉獻給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時，你的回憶里才會多一些色彩斑斕，少一些蒼白無力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考