概率論與數(shù)理統(tǒng)計參數(shù)假設(shè)檢驗-資料下載頁
2025-08-01 17:10本頁面
【正文】 一、頻率 大量次的觀察發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性． 3. 頻率具有穩(wěn)定性 例 1. 拋一枚硬幣 ,觀察事件“正面向上”發(fā)生的規(guī)律． 實 驗 者 總次數(shù) 正面次數(shù) fn(H) 蒲 豐 4040 2048 12022 6019 24000 12022 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 二、概率的統(tǒng)計定義 定義 1 在不變的一組條件下，重復(fù)進行 n次（大量）試驗，隨機事件 A在大量重復(fù)試驗中發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值 p 稱為隨機事件 A的概率，記為 P(A)，即 P(A) = p. 頻率的性質(zhì) ： ⑴ . 0≤fn (A)≤1。 ⑵ . fn (Ω) =1 ⑶ . 若 A1， A2， … ， An 是兩兩互不相容的事件， 則 ????nkknnkkn AfAf11)()( ?概率有哪些性質(zhì)？先考察一下頻率的性質(zhì) 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 三、概率的一般定義與性質(zhì) 1. 概率的一般 (公理化 )定義 定義 2 設(shè) E是隨機試驗， Ω是它的樣本空間。對于 E的 每一事件 A對應(yīng)于一個實數(shù) P(A),稱 P(A)為事件 A的概率。 若 P(A)滿足下列三個條件： (1) 0≤P(A)≤1。 (2) P(Ω)=1。 (3) 對于兩兩互不相容的可數(shù)個事件 A1， A2， … ，有 ??????11)()(kkkk APAP ? 以上三個條件分別稱為概率的非負性、規(guī)范性及 可加性。利用概率的定義可以推出概率的一些重要性質(zhì)。 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 三、概率的一般定義與性質(zhì) 性質(zhì) 1 P(Φ)= 0 2. 概率性質(zhì) 證明： 令 An=Φ(n=1,2,…) ， 則 Φ=A1∪ A2∪ … ，且 AiAj=Φ (i≠j， i,j=1,2,… ) 由可列可加性有 P(Φ)=P(A1∪ A2∪ … )=P(A1)+ P(A2)+…= P(Φ)+ P(Φ)+… 再由 P(Φ)≥0得， P(Φ)=0。 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 三、概率的一般定義與性質(zhì) 性質(zhì) 2 若 A1, A2, … , An,是兩兩互不相容的事件，則有 P(A1∪ A2∪ … ∪ An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)。 2. 概率性質(zhì) 證明： 令 An+1 =An+2 =…= Φ，即有 AiAj=Φ (i≠j， i,j=1,2,… ) 由可列可加性有 P(A1∪ A2∪ … ∪ An)=P(A1)+ P(A2)+…+ P(An) + P(Φ)+… =P(A1)+ P(A2)+…+ P(An)。 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 三、概率的一般定義與性質(zhì) 性質(zhì) 3 設(shè) A 是 A 的對立事件，則 P( A )=1P(A)。 A AA 證明： 由于 A ? A =Ω， A =Φ， 所以有 P(Ω )=P(A)+P( A )， 2. 概率性質(zhì) 而 P ( Ω ) = 1 ，于是 P (A )=1 —P (A)。 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 三、概率的一般定義與性質(zhì) 則 P (B－ A) = P (B) － P (A) Ａ Ω Ｂ 證明： 由于 B = A ∪ (B－ A) 且 A (B－ A) = Φ P(B) = P(A)+ P(B－ A) 于是 P(B－ A) = P(B)－ P(A) 推論１ Ｐ (B?A)=P(B)?P(AB) A B 推論２ 若 ，則 P(B)≥ P(A) BA ?性質(zhì) 4 設(shè) A 、 B 為二事件，若 BA ?下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 性質(zhì) 5 設(shè)任意兩個事件 A、 B，則 P(A∪ B)=P(A)+P(B)－ P(AB)。 證明 : 由右圖 1可知 A∪ B=A＋ (B－ AB)且 由概率可加性及性質(zhì) 4得 P(A∪ B)=P(A)+P(B－ AB)=P(A)+P(B)－ P(AB） A(B－ AB)=Φ， AB B?Ａ Ｂ 推論 1 P(A∪ B ） ≤ P(A)+P(B) 推論 2 設(shè)隨機事件 A1， A2， A3 ， 則 )()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP?????????A1 A2 A3 下頁三、概率的一般定義與性質(zhì) 《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 推論 3 設(shè) A1， A2， … ， An 是 n 個隨機事件， 則 ? ????? ?????????nnjinnkjijniinii kjii AAAPAApAPAP1 111)()()()( ?)()1( 211 nn AAAP ????????? ?下頁三、概率的一般定義與性質(zhì) 《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 例 1. 求證 證明 : 由于 )(2)()()( ABPBPAPBABAP ????ABABABA ????ABBABBA ????)()()( BAPBAPBABAP ???)()( ABBPABAP ????)()()()( ABPBPABPAP ????)(2)()( ABPBPAP ???BA BA且 與 互不相容，于是 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 例 A、 B為兩個隨機事件 ,且 P(A) = p,P(B) = q, P(AB) = r,求下列各事件的概率： rABPABP ???? 1)(1)(rqpABPBPAPBAPBAP??????????1)]()()([1)(1)( ??rqABPBPABPBAP ?????? )()()()(BABAAB )3(。)2(。)1( ?(2) (3) 解 : (1) 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 83]08100414141[1 ?????????)()()()()()([1 BCPACPABPCPBPAP ???????)(1)()( CBAPCBAPCBAP ???????解： )]( A B CP?例 3. 已知 P(A)=P(B)=P(C) =1/4, P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8,求 A,B,C都不發(fā)生的概率。 下頁《 概率統(tǒng)計 》 下頁 結(jié)束 返回 作業(yè)： 23頁 4， 5
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