【正文】 221?????????????????????bbxySbxycxyyxayxcyxyPFxPF則設(shè)推廣： 2t a n2c o s22c o s2si n21c o ssi nsi n211c o s24c o s22)(。2。4c o s2,222222222221??????????bbbxySbxycxyxyyxayxcxyyxyPFxPF????????????????????????則設(shè)?。的面積為則，且、焦點(diǎn)分別是上的一點(diǎn)，是橢圓、已知點(diǎn)_____,45179321212122FPFFPFFFyxP??????求出三角形的面積。，然后用求出中，由余弦定理可以在則設(shè)法一：CabSxFPFxPFxPFsi n2127.6,2121??????27221S24704921416。17922:2221????????????????????ycyyyxyxxyxyPF解之，得：可得：消去由直線法二：線上。的線段的中點(diǎn)在一條直截得，證明這些直線被橢圓）當(dāng)它們與橢圓相交時(shí)（相交？）這組直線何時(shí)與橢圓（是，一組平行直線的斜率已知橢圓21.2319422??yx圓截下的弦。的軌跡是這條直線被橢所以，點(diǎn)可得：消去則：中點(diǎn)為得到的線段的）設(shè)直線與橢圓相交所（。得由程，得：把直線方程代入橢圓方程為：解：設(shè)這組平行線的方MyxmmxymxxxyxMmmmmmxxmxy0232332).,(22323,0)1()182(363601826923212222?????????????????????????????四、橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最值 。分別為距離的最大值和最小值點(diǎn)到左焦點(diǎn)的的左、右焦點(diǎn)，求證：分別為橢圓為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)設(shè)、已知橢圓方程cacaPbabyax??????,),0(112222知識求最值。次函數(shù)的消去一個(gè)變量，運(yùn)用二，代入兩點(diǎn)間的距離公式坐標(biāo)，設(shè)出橢圓上任意一點(diǎn)的。為：的最大值則為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)分別為橢圓和點(diǎn)年福建高考，文科）若、（_ _ _ _ _ _ _ _1342 0 1 0222FPOPPyxPO???的有關(guān)知識求最值。函數(shù)運(yùn)算數(shù)量積，運(yùn)用二次寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓上 P求這個(gè)橢圓的方程。，遠(yuǎn)距離是到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最，已知點(diǎn)軸上，離心率在原點(diǎn)，長軸、若橢圓的中心是坐標(biāo)7)23,0(233Pex ?知識求最值。用二次函數(shù)的有關(guān)經(jīng)過離心率化簡后，運(yùn)代入兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)出橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，三、求橢圓的離心率 求橢圓的離心率。時(shí)，為橢圓中心，當(dāng)為橢圓上的點(diǎn)，和上頂點(diǎn)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、為橢圓的左焦點(diǎn)，如圖所示，)(//111OABPOAFPFPBAF?22),(),(),0,(22222222????????????????????cbcacacecbacbabkkacbkabcPabkboBaAOPABOPAB???又解：0363 22222222 ????? bacacxaxba ）（得：? ? ? ?2222222221 3246,3246baabcaxbaabcax??????解得：cxxycxyxcFBAF32),(2),(2212211??????????3232??eca即：代入化簡，可得：? ?? ?212212 4)1(2 xxxxkAB ?????）（? ?? ?22222222213246,3246baabcaxbaabcax??????1. 橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率是 . 23知識鞏固 A1 M B2 O F2 y x 2. 如圖 F2是橢圓的右焦點(diǎn)， MF2垂 直于 x軸，且 B2A1∥ MO,求其離心率 . 橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)新課探究 問題 1: 2222 1 ( , ) , ?xy P x yab ??對 于 橢 圓 上 的 點(diǎn) 能 否 借 鑒 圓 的 方 法 進(jìn) 行 一 種 三 角 代 換22222222c o ss inc o s sin 1 ,c o s , sin , c o s sin 1 , ( ) .. .. .. ( 1 ){xaybx y x ya b a b????? ? ? ??????? ? ? ? ? ?聯(lián) 想令 則則 為 參 數(shù)與圓類似 ,把方程 (1)叫做橢圓的參數(shù)方程 . 橢圓簡單幾何性質(zhì) (4)探求新知 問題 2:橢圓的參數(shù)方程中 a,b, 的含義是什么 ? 例 5 如圖 ,以原點(diǎn)為圓心 ,分別以 a、 b(ab0) 為半徑作兩個(gè)大圓，點(diǎn) B是大圓半徑 OA與小圓的交點(diǎn)， 過點(diǎn) A作 AN⊥ Ox，垂足為 N，過點(diǎn) B作 BM⊥ AN，垂足 為 M，求當(dāng)半徑 OA繞點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn) M的軌跡的參數(shù)方程。 分析：本題是給定條件求軌跡問題，請同學(xué)們觀察動(dòng)畫并 思考下列各問題： （ 1）動(dòng)點(diǎn) A、 B、 N、 M分別是如何人運(yùn)動(dòng)的？相互關(guān)系如何？其中最主要的動(dòng)點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)？ （ 2）動(dòng)點(diǎn) M是如何產(chǎn)生的？ M的坐標(biāo)與點(diǎn) A、 B的坐標(biāo)的關(guān)系如何？ （ 3）什么是參數(shù)方程？如何設(shè)出恰當(dāng)?shù)膮?shù)？ ??MNBAxOy動(dòng)畫演示 橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)新課探究 解 : c ossin( , ) ,c os ,si n ,({xaybM x y oxOAx ON OA ay N M OB babOMx???????????? ? ?? ? ?設(shè) 點(diǎn) 是 以 為 始 邊 ，為 終 邊 的 正 角 ， 為 參 數(shù) ， 則即 為 參 數(shù) ） 。這 就 是 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 。其 中 為 長 半 軸 的 長 ，為 短 半 軸 的 長 ， 叫 離 心 率 ，但 不 是與 軸 所 成 的 角 ，而 是 OA 與 x 軸 所 成 的 角 。ANB M2222c os , si n .1.yxabyxab??????把 參 數(shù) 方 程 變 形 為可 得 到即 參 數(shù) 方 程 與 普 通方 程 可 以 互 化 ， 是等 價(jià) 的 。橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)新課探究 問題 3:橢圓的參數(shù)方程和圓的參數(shù)方程有何異同 ? 名稱 方程 各元素的幾何意義 圓 橢圓 c o ss i n ({x a ry b r?? ????? 為 參 數(shù) ）, ) ( , )O a b r P x yO P x（ 表 示 圓 心 ， 表 示 半 徑 ， 動(dòng) 點(diǎn)表 示 與 軸 的 正 半 軸 組 成 的 圓 心 角 。c o ss i n ({xayb?? ??? 為 參 數(shù) ）abO M O X?表 示 長 半 軸 ， 表 示 短 半 軸 ， 表 示 離 心 角 ，但 不 是 與 的 正 半 軸 所 成 的 角 。橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)知識應(yīng)用 變式練習(xí) 1 將下列參數(shù)方程化為普通方程 ,普通方程化為參數(shù)方程 : 3 c o s2 s i n1({xy?? ???（ ） 為 參 數(shù) ）8 c o s6 s i n2({xy?? ???（ ） 為 參 數(shù) ）224931yx ??（ ） 2216( 4 ) 1yx ??橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)知識應(yīng)用 補(bǔ)充例題 :如圖在橢圓 x2+8y2=8上求一點(diǎn) P,使 P到直線 l:xy+4=0的距離最小 . 解 1:把直線 l平移至首次與橢圓相切 ,切點(diǎn)就是所求的 點(diǎn) P,即 :設(shè) l1的方程為 xy+m=0 { ,整理得 9y22my+m28=0, △ =4m24 9 (m28)=0, 解得 m=177。 m=3,l1首先與 橢圓相切 ,此時(shí) { ,即 9y26y+1=0. X Y l O xy+m=0 X2+8y2=8 xy+3=0 X2+8y2=8 88113 3 3 343 222,.y x Pd ???? ? ?代 入 可 得 即 （ ， ） ，最 小 距 離橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)知識應(yīng)用 補(bǔ)充例題 :如圖在橢圓 x2+8y2=8上求一點(diǎn) P,使 P到直線 l:xy+4=0的距離最小 . X Y l O P 22 1332 2 c ossin3 ( c os sin ) 42 2 c os sin 442 2 23 sin( ) 4222 1332122222 1338 1332, 2 2 c os , si n ),si n , c os ,c os si n , si n c os , ) .{xyxyPddP???????????????? ? ? ???????????? ? ????? ? ?? ? ? ?解 ： 將 橢 圓 的 方 程 化 為 參 數(shù) 方 程 得所 以 可 設(shè) 點(diǎn) 為 （其 中當(dāng) 時(shí) ， 有 最 小 值 即 ，此 時(shí)即 （橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)知識應(yīng)用 21 0 0 6 4 1y??2x已 知 橢 圓 有 一 內(nèi) 接 矩 形 ABCD, 求 矩 形 ABCD 的 最 大 面 積 .:,( 10 c os , 8 sin )4 10 c os 8 sin 32 0 sin c os16 0 sin 2160.4A B CDAS??? ? ? ????? ? ? ???解 由 橢 圓 的 對 稱 性 可 知 矩 形 可 分 為 四 個(gè) 部 分如 圖 , 設(shè)當(dāng) 時(shí) 有 最 大 值2 22. ( 1 , 0) , 1 , , .4xA y P PA??已 知 點(diǎn) 橢 圓 點(diǎn) 在 橢 圓 上 移 動(dòng) 求 的 最 小 值2 2 2 2 222: ( 2 c o s , sin ) ,( 2 c o s 1 ) sin 4 c o s 4 c o s 1 sin123 c o s 4 c o s 2 3 ( c o s ) ,232 2 6c o s , .3 3 3PPAPA??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???解 設(shè) 則當(dāng) 時(shí) 的 最 小 值 為橢圓的簡單幾何性質(zhì) (4)課堂小結(jié) ? 本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的參數(shù)方程及 的幾何意義。 ? 通過學(xué)習(xí)我們對橢圓有了更深入的了解，橢圓的兩種定義，兩種方程都是等價(jià)的，可以互相轉(zhuǎn)化。 ? 橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用廣泛，特別是求有關(guān)最值問題，常比普通方程更簡潔。