范德蒙行列式及其應用-資料下載頁
2025-07-25 01:30本頁面
【正文】 （2） (n+1)得當時，若為比高階的無窮小，則這是以為未知數(shù)的線形方程組，其系數(shù)行列式故上述方程組有惟一解，即存在惟一一組實數(shù)，使當時，是比高階無窮小。(三) 范德蒙行列式在多項式理論中的應用例1 設(shè)若至少有個不同的根，則。證明 取為的個不同的根，則有齊次線形方程組 (2)其中看作未知量因為方程組（2）的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式，且所以方程組（2）只有零解，從而有即是零多項式。例2 設(shè)是數(shù)域F中互不相同的數(shù)，是數(shù)域F中任一組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域F上次數(shù)小于n的多項式，使=，證明 設(shè)由條件，知 （3）因為互不相同，所以方程組（3）的系數(shù)行列式則方程組（3）有唯一解，即唯一的次數(shù)小于的多項式使得，例3設(shè)多項式， ，則不可能有非零且重數(shù)大于的根。證明 反設(shè)是的重數(shù)大于的根，則=0， 進而即（4）把（4）看成關(guān)于為未知量的齊次線形方程組則（4）的系數(shù)行列式 = 所以方程組（4）只有零解，從而，所以必有這與矛盾，故沒有非零且重數(shù)大于的根。(四) 范德蒙行列式推廣的應用借助于范德蒙行列式的推廣及其推論，使得范德蒙行列式的應用范圍更加廣泛，下面就幾個例子來作一個說明。例1 計算行列式解 由定理，則例2 計算行列式解 由定理，則 例3 計算行列式解 由推論，則 = =結(jié) 束 語范德蒙行列式及其推廣都屬于一類很重要的而且特殊的行列式，因為這些行列式告訴我們行列式的計算具有一定的規(guī)律性和技巧性，并且通過深入研究，我們可將它們應用到行列式計算當中和微積分中，但是它們的應用不僅僅在于這兩個方面，還可以應用到其它領(lǐng)域，這還有待于我們以后的學習和研究。參考文獻： [1] 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研組：《高等代數(shù)》北京，高等教育出版社，1988；[2] 鄒應：《數(shù)學分析習題及其解答》武漢，武漢大學出版社， 2001；[3] 裴禮文：《數(shù)學分析中的典型問題與方法》北京，高等教育出版社，1993；[4] 易大義 陳道琦：《數(shù)值分析引論》杭州，浙江大學出版社，1998。 24
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