范德蒙行列式及其應(yīng)用-資料下載頁(yè)
2025-07-25 01:30本頁(yè)面
【正文】 （2） (n+1)得當(dāng)時(shí)，若為比高階的無(wú)窮小，則這是以為未知數(shù)的線形方程組，其系數(shù)行列式故上述方程組有惟一解，即存在惟一一組實(shí)數(shù)，使當(dāng)時(shí)，是比高階無(wú)窮小。(三) 范德蒙行列式在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用例1 設(shè)若至少有個(gè)不同的根，則。證明 取為的個(gè)不同的根，則有齊次線形方程組 (2)其中看作未知量因?yàn)榉匠探M（2）的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式，且所以方程組（2）只有零解，從而有即是零多項(xiàng)式。例2 設(shè)是數(shù)域F中互不相同的數(shù)，是數(shù)域F中任一組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域F上次數(shù)小于n的多項(xiàng)式，使=，證明 設(shè)由條件，知 （3）因?yàn)榛ゲ幌嗤?，所以方程組（3）的系數(shù)行列式則方程組（3）有唯一解，即唯一的次數(shù)小于的多項(xiàng)式使得，例3設(shè)多項(xiàng)式， ，則不可能有非零且重?cái)?shù)大于的根。證明 反設(shè)是的重?cái)?shù)大于的根，則=0， 進(jìn)而即（4）把（4）看成關(guān)于為未知量的齊次線形方程組則（4）的系數(shù)行列式 = 所以方程組（4）只有零解，從而，所以必有這與矛盾，故沒(méi)有非零且重?cái)?shù)大于的根。(四) 范德蒙行列式推廣的應(yīng)用借助于范德蒙行列式的推廣及其推論，使得范德蒙行列式的應(yīng)用范圍更加廣泛，下面就幾個(gè)例子來(lái)作一個(gè)說(shuō)明。例1 計(jì)算行列式解 由定理，則例2 計(jì)算行列式解 由定理，則 例3 計(jì)算行列式解 由推論，則 = =結(jié) 束 語(yǔ)范德蒙行列式及其推廣都屬于一類(lèi)很重要的而且特殊的行列式，因?yàn)檫@些行列式告訴我們行列式的計(jì)算具有一定的規(guī)律性和技巧性，并且通過(guò)深入研究，我們可將它們應(yīng)用到行列式計(jì)算當(dāng)中和微積分中，但是它們的應(yīng)用不僅僅在于這兩個(gè)方面，還可以應(yīng)用到其它領(lǐng)域，這還有待于我們以后的學(xué)習(xí)和研究。參考文獻(xiàn)： [1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研組：《高等代數(shù)》北京，高等教育出版社，1988；[2] 鄒應(yīng)：《數(shù)學(xué)分析習(xí)題及其解答》武漢，武漢大學(xué)出版社， 2001；[3] 裴禮文：《數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法》北京，高等教育出版社，1993；[4] 易大義 陳道琦：《數(shù)值分析引論》杭州，浙江大學(xué)出版社，1998。 24
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