【正文】 n n n nn n nDa b a b a baba b a b a baba b a b a bab?????????????????? ?????? = 39。???A = )1( 139。 ?? ?? AA (*) 這里1 1 12 2 2...n n nababAab?????????????, ???????????????naaa...21? , ???????????????nbbb...21? 所以 (*)式= ? ??? ? ? ??? ? ?????????? 111 2 212211. . .)()()( ni iiinnnininiiiiIiiiiii bababababababa ???? …………………… （ ? ） （ 2）若存在 iii ba?? ，則 ? ?????? nijjjjjii babaD 1 ? 這時（ ? ）同樣適用，因而（ ? ）為計算公式 . 特征根法 此法用于行列式所對應(yīng)矩陣的特征根已知或易求的情況下，利 用 nA ??? ...21? ， 其中 i? 為 A 的特征根 . 例 20 已知 AI? 的特征根之模長均小于 1，求證 0 ?? Adet n2 . 證明 :首先 A 沒有零特征根，否則存在可逆陣 P ，使得 29 ????????????????nAPP??...021 所以， PAIP )(1 ?? =???????????????nI??...02 =n????1...112 所以， 1 為 AI? 的特征根矛盾 . 設(shè)????????????????nAPP???...211 ， 所以，nPAIP?????????1. . .11)( 211 所以， i??1 1即 1 i? 1即 i? 2,所以， n??? ...21 n2 即 0 Adet n2 . 4. n 階行列式的應(yīng)用 行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用 拉格朗日（ Lagrange）中值定理 若函 數(shù) f滿足條件 （ 1） f在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)； （ 2） f再開區(qū)間（ a,b）上可導(dǎo)， 則在（ a,b）上至少存在一點 ? ，使得 ab afbff ??? )()()(39。 ? 證明：我們可以構(gòu)造行列式輔助型函數(shù)來證明定理 30 設(shè) 1)(1)(1)()(xfxbfbafaX ?? 因 f(a)在 [a,b]上連續(xù)，在（ a,b）內(nèi)可導(dǎo) ，所以 )(X? 在 [a,b]上連續(xù)，在（ a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且)(b? = )(a? =0 故由羅爾定理知，至少存在一點 ),( ba?? 使得 0)(10)()(1)(0)(11)(1)()(39。39。xfafbfabafafbfbafa??????? 所以 ab afbff ??? )()()(39。 ? 柯西中值定理 若函數(shù) f 和 g 滿足條件 （ 1） 在 [a,b]上都連續(xù)； （ 2） 在（ a,b）上都可導(dǎo)； （ 3） )(39。 xf 和 )(39。 xg 不同時為 0； （ 4） )()( bgag ? . 則存在 ),( ba?? ，使得)()( )()()( )(39。39。afbg afbfgf ????? 證明：設(shè) 1)()(1)()(1)()()(39。bfbgafagxfxgx ?? 由于 )(x? 是 )(xf , )(xg 的多項式函數(shù)，從而在在 [a,b]上都連續(xù)，在（ a,b）上可導(dǎo)，利用行列式性質(zhì)易見 )()( ba ?? ? 故由羅爾定理知，至少存在一點 ),( ba?? ， 使得 31 0)(39。 ??? ，1)()(1)()(1)()()(39。39。39。bfbgafagxfxgx ?? 由此可得 )()( )()()( )(39。39。39。agbg afbfgf ????? 行列式在求逆矩陣中的應(yīng)用 設(shè) )()( FMaA nnnij ?? 則 A是非奇異矩陣充分且必要條件是 0?A ，且當(dāng) 0?A 時， A 的逆矩陣 ?? ? AAA 11其中 ?A 是 A 的伴隨矩陣。 行列式在多項式理論中的應(yīng)用 例 1 證明一個 n 次多項式至多有 n 個互異根。 證明：設(shè) ninii xaxaxaaxf ????? ?2210)( 有 n+1 個互異的零點 121 , ?nxxx ? ，則有 11,0)( 2210 ????????? nixaxaxaaxf niniii ? 即 ?????????????????????? 00012211022222201221110nnnnnnnnnnaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxa???? 這個關(guān)于 naaa , 20 ? 的齊次線性方程組的系數(shù)行列式 ??????????111211121212110)(111nijjinnnnnxxxxxxxxxxx 因此 0210 ???? naaaa ?，這個矛盾表明 )(xf 至多有 n個互異的根 32 行列式在解析幾何中的應(yīng)用 在向量積、混合積中的應(yīng)用 設(shè) ｛ O。i,j,k｝ 為右手直角坐標(biāo)系 kaaa 321i ???? ， kbjbib 321 ???? ， kcjcic 321 ???? 因為 kji ?? ， ik??j ， jik ?? ， kij ??? ， ijk ?? ， jki ?? 所以321321212131313232bbbaaakjikbb aajbb aaibb aa ????? ?? 321321321321212313113232)(cccbbbaaacbb aacbb aacbb aa ?????? ??? 在面積、體積中的應(yīng)用 以 kjaia 021 ???? ， kjbib 021 ???? 為鄰邊的平行四邊行的面積為 2121 bb aa???? 以 kajaia 321 ???? ， kbjbib 321 ???? ， kcjcic 321 ???? 以相鄰棱的平行六面體的體積為 321321321)(cccbbbaaa??? ??? 在求解幾何圖形方程中的應(yīng)用 （ 1） 過不同兩點 ),( 111 yxM ， ),( 222 yxM 的平面直線 L的方程為 01112211 ?yxyxyx 33 （ 2） 過 不 共 線 的 三 點 ),( 1111 zyxP ， ),( 2222 zyxP ， ),( 3333 zyxP 的平面 ? 的方程為 01111333222111 ?zyxzyxzyxzyx 行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用 若線性方程組 )1(221122221211212111????????????????nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa???????的系數(shù)矩陣 nnijaA )(? 的行列式 0?A ，則（ 1）有唯一解 niAAx ii ,2,1, ??? 這里的矩陣 iA 是用（ 1）的常數(shù)項所成的列向量替換 A第 i所得到的 n階矩陣 . 5. 總結(jié) 本文主要論述了行列式的定義、性質(zhì)、計算方法及其應(yīng)用。在其計算方法上主要介紹定義法、化為三角形方法、降階法、遞推法、范德蒙行列式法、 加邊法、歸納法、分解行列式法、分離線性因子法、構(gòu)造法、鑲邊 法、因式定理法、拉普拉斯定理法、交換元素法、乘法定理法、待定系數(shù)法、析因子法、公式法、規(guī)律缺損補足法、特征根法等。在其應(yīng)用上主要介紹行列式在證明微分中值定理中的應(yīng)用、求逆矩陣中的應(yīng)用、多項式理論中的應(yīng)用、解析幾何中的應(yīng)用及其在求解線性方程組中的應(yīng)用等。 在本文中依次對每個計算方法以具體例子相應(yīng)求解過程，對于每個應(yīng)用也以具體例子給出。 5. 謝辭 在論文完成之際 ,我要特別感謝我的指導(dǎo)老師趙大方熱情關(guān)懷和悉心指導(dǎo)。在我撰寫論文的過程中 ,趙老師傾注了大量的心血和汗水 ,無論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面 ,還是 在論文 34 的研究方法以及成文定稿方面 ,我都得到了趙老師悉心細(xì)致的教誨和無私的幫助 ,特別是他廣博的學(xué)識、深厚的學(xué)術(shù)素養(yǎng)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神和一絲不茍的工作作風(fēng)使我終生受益 ,這些在我的人生道路上給予了決定性的幫助 ,另外教務(wù)處在我們的整個過程中提供了巨大的幫助和支持 ,這對我今后走向社會有著重要的影響 ,也是我人生中的一筆財富。在此表示真誠地感謝和深深的謝意。 在論文的寫作過程中 ,也得到了許多同學(xué)的寶貴建議 ,同時還到許多在工作過程中許多同學(xué)的支持和幫助 ,在此一并致以誠摯的謝意。感謝所有關(guān)心、支持、幫助過我的良師益友 。 最后 ,向在百忙中抽出時間對本文進(jìn)行評審并提出寶貴意見的各位專家表示衷心地感謝！ [1]王萼芳 .高等代數(shù)（第 4版） [M].北京 .高等教育出版社， ： 46～ 96 [2]王麗霞 .n階行列式的幾種常見的計算方法 [J].西山大同大學(xué)學(xué)報（自然 科學(xué)版） 24卷 .第 2期 [3]王作中 .行列式的計算方法 與技巧 [J].武警哈爾濱指揮學(xué)院 .民營科技 . 文化教育 . 8期 [4]陳孟澤 .淺談 n 階行列式的計算方法及應(yīng)用 [J].知識經(jīng)濟(jì) . [5]黃娟霞 .N階行列式幾種特殊計算方法 [J].呂梁教育學(xué)院學(xué)報 . 第 26卷 .第 3期 35 [6]楊立英 .n階行列式的計算方法與技巧 [J].廣西師范學(xué)院學(xué)報 . 第 23卷 .第 1期 [7]唐仙芝 劉春新 .n階行列式的計算探究 [J].黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)校 .天 中學(xué)刊 . 25 卷 .第 5期 [8]胡喬林 .關(guān)于行列式的定義及其計算方法 [J].濟(jì)南職業(yè)學(xué)院 科技信息 . 25 期 [9]張新功 .行列式的計算方法探討 [J].重慶師范大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版 ). 28 卷第 4期 [10]楊文泉 .行列式的應(yīng)用 [J].佳木斯大學(xué)理學(xué)院 [11]古家虹 .關(guān)于行列式的計算方法 [J].廣西大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué) 版） . 30卷 [12]張玉蘭 .行列式的計算方法 [J].南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 .科技信息 [13]張學(xué)茂 .行列式的幾種計算方法 [J].中國校外教育 .教學(xué)方法 [14]段向陽 .淺談行列式的幾種計算方法 []J].湖南冶金職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué) 報 . 8卷 .第 4期