范德蒙行列式及其應(yīng)用(專業(yè)版)
【正文】 證明 由題設(shè)條件，可得 在處常有皮亞諾余項的馬克勞林展開式： （1） （2） (n+1)得當(dāng)時，若為比高階的無窮小，則這是以為未知數(shù)的線形方程組，其系數(shù)行列式故上述方程組有惟一解，即存在惟一一組實數(shù)，使當(dāng)時，是比高階無窮小。當(dāng)互異時，；否則為零。本文將通過對n階范德蒙行列式的計算、推廣及其證明，討論它在行列式計算,微積分和多項式理論中的相關(guān)應(yīng)用，然后主要研究一些與范德蒙行列式有關(guān)的例子，從中掌握行列式計算的某些方法和技巧，這將有助于我們更好的應(yīng)用范德蒙行列式解決問題。如提取各行的公因數(shù)，則方冪次數(shù)便從0變到. 例2 計算解 本項中行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反，為使中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第列依次與上行交換直至第1行，第行依次與上行交換直至第2行第2行依次與上行交換直至第行，于是共經(jīng)過次行的交換得到階范德蒙行列式： 若的第行（列）由兩個分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含相同分行（列）；且中含有由個分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將的第行（列）乘以1加到第行（列），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式：例3 計算解 將的第一行乘以1加到第二行得：再將上述行列式的第2行乘以1加到第3行，再在新行列式中的第3行乘以1加到第4行得：例4 計算 （1）解 先加邊，那么再把第1行拆成兩項之和，各行（或列）元素均為某一元素的不同方冪，但都缺少同一方冪的行列式，可用此方法：例5 計算解 作階行列式：=由所作行列式可知的系數(shù)為，而由上式可知的系數(shù)為：通過比較系數(shù)得：運用公式=來計算行列式的值：例6 計算 解 取第1，3，2行，第1，3，列展開得：=例7 設(shè)，計算行列式解 例8 計算行列式解 在此行列式中，每一個元素都可以利用二項式定理展開，從而變成乘積的和。(四) 范德蒙行列式推廣的應(yīng)用借助于范德蒙行列式的推廣及其推論，使得范德蒙行列式的應(yīng)用范圍更加廣泛，下面就幾個例子來作一個說明。方程組有唯一一組依賴于的解：，從而在的鄰域內(nèi)的最高階無窮小有下述形式的表達(dá)式： =例2[3] 設(shè)至少有階導(dǎo)數(shù)，且對某個實數(shù)有 (1)試
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