廣州市20xx年中考數(shù)學(xué)試題-資料下載頁(yè)
2025-07-24 08:00本頁(yè)面
【正文】 =9，解得h=．如答圖1，在坐標(biāo)平面內(nèi)作直線平行于AC，且到AC的距離=h=，這樣的直線有2條，分別是l1和l2，則直線與對(duì)稱軸x=﹣1的兩個(gè)交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D．設(shè)l1交y軸于E，過(guò)C作CF⊥l1于F，則CF=h=，∴CE==．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（﹣4，0），B（0，3）坐標(biāo)代入，得到，解得，∴直線AC解析式為y=x+3．[來(lái)源:]直線l1可以看做直線AC向下平移CE長(zhǎng)度單位（個(gè)長(zhǎng)度單位）而形成的，∴直線l1的解析式為y=x+3﹣=x﹣．則D1的縱坐標(biāo)為（﹣1）﹣=，∴D1（﹣4，）．同理，直線AC向上平移個(gè)長(zhǎng)度單位得到l2，可求得D2（﹣1，）綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為：D1（﹣4，），D2（﹣1，）．（3）如答圖2，以AB為直徑作⊙F，圓心為F．過(guò)E點(diǎn)作⊙F的切線，這樣的切線有2條．連接FM，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半徑FM=FB=3．又FE=5，則在Rt△MEF中，ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．在Rt△FMN中，MN=MN?sin∠MFE=3=，F(xiàn)N=MN?cos∠MFE=3=，則ON=，∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）直線l過(guò)M（，），E（4，0），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則有，解得，所以直線l的解析式為y=x+3．同理，可以求得另一條切線的解析式為y=x﹣3．綜上所述，直線l的解析式為y=x+3或y=x﹣3．點(diǎn)評(píng)：本題解題關(guān)鍵是二次函數(shù)、一次函數(shù)以及圓等知識(shí)的綜合運(yùn)用．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)中對(duì)于“以A、B、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)”條件的理解，這可以從直線與圓的位置關(guān)系方面入手解決．本題難度較大，需要同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通、靈活運(yùn)用．25．（2012?廣州）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60176?！堞粒?0176。）．（1）當(dāng)α=60176。時(shí)，求CE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)60176。＜α＜90176。時(shí)，①是否存在正整數(shù)k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．②連接CF，當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理。專題：代數(shù)幾何綜合題。分析：（1）利用60176。角的正弦值列式計(jì)算即可得解；（2）①連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長(zhǎng)度可得AG=AF，然后利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解；②設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的長(zhǎng)度，在Rt△CEG中，利用勾股定理表示出CG2，從而得到CF2，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答．解答：解：（1）∵α=60176。，BC=10，∴sinα=，即sin60176。==，解得CE=5；（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．理由如下：連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF=FD，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF，在△AFG和△CFD中，∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD，∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴∠AEF=∠G，∵AB=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴AG=5，AF=AD=BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG（對(duì)頂角相等），∴∠CFD=∠AEF，∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整數(shù)k=3，使得∠EFD=3∠AEF；②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，∵CF=GF（①中已證），∴CF2=（CG）2=CF2=（200﹣20x）=50﹣5x，∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，∴當(dāng)x=，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，CE2﹣CF2取最大值，此時(shí)，EG=10﹣x=10﹣=，CE===，所以，tan∠DCF=tan∠G===．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，另外根據(jù)數(shù)據(jù)的計(jì)算求出相等的邊長(zhǎng)也很重要．
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