數列求通項與求和總結(精)-資料下載頁
2025-07-23 16:03本頁面
【正文】 例13 已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數得 ⑩設 將⑩式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得 由及式，得，則，所以數列是以為首項，以5為公比的等比數列，則，因此則。評注：本題解題的關鍵是通過對數變換把遞推關系式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。八、迭代法例14已知數列滿足，求數列的通項公式。解：因為，所以又，所以數列的通項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數變換法求數列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數得，即，再由累乘法可推知，從而。九、數學歸納法例15已知數列滿足，求數列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數學歸納法證明這個結論。（1）當時，所以等式成立。（2）假設當時等式成立，即，則當時，由此可知，當時等式也成立。根據（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關鍵是通過首項和遞推關系式先求出數列的前n項，進而猜出數列的通項公式，最后再用數學歸納法加以證明。十、換元法例16已知數列滿足，求數列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關系式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最后再求出數列的通項公式。
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