離散型隨機(jī)變數(shù)-資料下載頁
2025-07-20 05:59本頁面
【正文】 8 2 80 1 2? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?卜瓦松分布 卜瓦松分布 一大張壁紙上的瑕疵數(shù)，某網(wǎng)站在某時(shí)段十分鐘之內(nèi)的上網(wǎng)瀏覽人數(shù)，或者某路段一個(gè)月之內(nèi)的車禍數(shù)，這些都屬於 「計(jì)次」型的離散變數(shù) 。雖然計(jì)次的對(duì)象不同，但這類變數(shù)常符合某些共同性質(zhì)，且根據(jù)這些性質(zhì)可以導(dǎo)出一族特定的分布，叫做 卜瓦松分布 (Poisson distribution)，它有一個(gè) 參數(shù) λ為特定「範(fàn)圍」內(nèi)的平均發(fā)生次數(shù) ；此處「範(fàn)圍」做廣義解釋，有可能是一段時(shí)間、或一個(gè)區(qū)域 … 等等。 參數(shù)為 λ的卜瓦松隨機(jī)變數(shù) X，其 機(jī)率函數(shù) 為 其中的 e為實(shí)數(shù)， e= … 。 ( ) ( ) , , , ,! 0 1 2xep x P X x xx? ??? ? ? ?例 假設(shè)秘書張小姐所打的文件，平均每一頁有 。某天，她替上司打了一份 12頁的報(bào)告。假設(shè)錯(cuò)誤數(shù) X符合卜瓦松分布，試求該份報(bào)告當(dāng)中 (a)恰好有 2個(gè)錯(cuò)的機(jī)率； (b)至少有 4個(gè)錯(cuò)的機(jī)率；(c)完全沒有錯(cuò)誤的機(jī)率。 解： ( ) ( ) .!6266 2 1 8 0 0 4 4 62ea P X e? ?? ? ? ?( ) ( ) ( ) . .!6306 4 1 3 1 1 0 1 5 1 2 0 8 4 8 8xxeb P X P Xx??? ? ? ? ? ? ? ? ??( ) ( ) .!6066 0 0 0 0 2 50ec P X e? ?? ? ? ?期望值和變異數(shù) 若 X為參數(shù) λ的卜瓦松隨機(jī)變數(shù)、則其期望值和變異數(shù)為 E(X)=λ V(X)=λ 例 假設(shè)某眼科診所在上班日白天 (早上 9點(diǎn)到下午 5點(diǎn) )的求診人數(shù)符合卜瓦松分布，平均每小時(shí) 3位病人。令 X代表某個(gè)上班日從 10：00到 11： 12的求診人數(shù)，求 (a)X的期望值和變異數(shù) (b)P(X?3) 解： (a)從 10： 00到 11： 12中間有一小時(shí) 12分鐘，也就是 ，所以這段時(shí)間的平均求診人數(shù)是 λ=3?= X的期望值和變異數(shù)都等於 。 (b) P(X?3)= 1P(X?2)== 二項(xiàng)分布與卜瓦松分布 當(dāng) n較大、 p卻很小時(shí) ， ()( ) , ,!1 0 1np xx n xn e npp p x nxx???? ? ? ? ????? ，「 n較大、 p很小」並沒有一定的標(biāo)準(zhǔn)。 一般來說， n至少應(yīng)該要滿足 n?20，且 p的大小和 n的大小也有關(guān)係； n若不夠大， p應(yīng)該要小些， n若較大，則 p不需太小即可。 有教科書就如此建議：若 n?20且 p?，或若 n?100且p?，適合用卜瓦松分布來逼近二項(xiàng)分布。 n=20,p=, λ=np=1 n=10,p=, λ=np=1 x b(x) p(x) |b(x)p(x)| x b(x) p(x) |b(x)p(x)| 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 例 某製造商生產(chǎn)的聖誕樹裝飾用彩色小燈泡中，有 3%屬於瑕疵品?，F(xiàn)從商店買一盒該廠生產(chǎn)的小燈泡 100個(gè)，則其中所包含的瑕疵品個(gè)數(shù)符合參數(shù) n=100、 p= 。利用卜瓦松分布來求 100個(gè)小燈泡中，瑕疵品不超過 4個(gè)的機(jī)率。 解： 令 X代表 100個(gè)小燈泡中，瑕疵品的個(gè)數(shù)，則題目所求為 P(X?4)。 直接用二項(xiàng)分布求機(jī)率，必須計(jì)算下式 ( ) ( . ) ( . )410001004 0 0 3 0 9 7xxxPX x ?????? ?????改用卜瓦松分布來逼近，參數(shù)為 λ=np=100()=3，則可得近似機(jī)率 ( ) .!34034 0 8 1 5xxePXx??? ? ??
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