離散型隨機(jī)變數(shù)(完整版)
【正文】 ) 隨機(jī)變數(shù) X的 變異數(shù) (variance)為 σ2 =V(X) =E[(Xμ)2] ， 標(biāo)準(zhǔn)差 (standard deviation)為 。 離散型隨機(jī)變數(shù)的機(jī)率分布 機(jī)率函數(shù) 定義 (機(jī)率函數(shù) ) 設(shè) X為離散型隨機(jī)變數(shù)，其 機(jī)率函數(shù) (probability function, .)或 機(jī)率密度函數(shù) (probability density function, .)定義為 p(x) =P[X =x] 註： 1.「機(jī)率函數(shù)」用在離散型隨機(jī)變數(shù)，「機(jī)率密度函數(shù)」用在連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)。 如果我們關(guān)心的是擲三次所得到的正面總數(shù)，則樣本空間中每一個(gè)樣本點(diǎn)都會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)字。 解： ((.))1 1 1 1 56 0 7 0 8 0 9 0 9 51 2 1 2 6 4 1 21 0 3 5 3 4 51 2 48 6 2 5xE X x p x? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?期望值為 ： 如果小胖重複消費(fèi)許多次，每次都花費(fèi) 100元，抽獎(jiǎng)之後可能有時(shí)要付 70元，有時(shí)要付 95元，但許多次的平均，會(huì)接近 。 2. 每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有 兩種可能 ：成功 (S)或失敗 (F)。 設(shè) X1,X2,… ,Xn為互相獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變數(shù)， p=P(Xi=1)，則 的分布是參數(shù)為 n、 p之二項(xiàng)分布。若令 X代表在上述架構(gòu)下，所抽出 n件中第一類的件數(shù)， X就叫做超幾何隨機(jī)變數(shù) ， 參數(shù)為 N、M、 n，其機(jī)率函數(shù)如下： 若 X為參數(shù) N、 M、 n的超幾何隨機(jī)變數(shù)，則其機(jī)率函數(shù)為 x為非負(fù)整數(shù) 符號(hào) max(a, b)，代表 a, b中較大的數(shù)；符號(hào) min(a, b)，則代表 a, b中較小的數(shù)。阿花很勇猛的隨便抓了 10件，試求 10件 T恤中，瑕疵品不超過 2件的機(jī)率。令 X代表某個(gè)上班日從 10：00到 11： 12的求診人數(shù)，求 (a)X的期望值和變異數(shù) (b)P(X?3) 解： (a)從 10： 00到 11： 12中間有一小時(shí) 12分鐘，也就是 ，所以這段時(shí)間的平均求診人數(shù)是 λ=3?= X的期望值和變異數(shù)都等於 。 直接用二項(xiàng)分布求機(jī)率，必須計(jì)算下式 ( ) ( . ) ( . )410001004 0 0 3 0 9 7xxxPX x ?????? ?????改用卜瓦松分布來逼近，參數(shù)為 λ=np=100()=3，則可得近似機(jī)率 ( ) .!34034 0 8 1 5xxePXx??? ? ??。 一般來說， n至少應(yīng)該要滿足 n?20，且 p的大小和 n的大小也有關(guān)係； n若不夠大， p應(yīng)該要小些， n若較大，則 p不需太小即可。雖然計(jì)次的對(duì)象不同，但這類變數(shù)常符合某些共同性質(zhì)，且根據(jù)這些性質(zhì)可以導(dǎo)出一族特定的分布，叫做 卜瓦松分布 (Poisson distribution)，它有一個(gè) 參數(shù) λ為特定「範(fàn)圍」內(nèi)的平均發(fā)生次數(shù) ；此處「範(fàn)圍」做廣義解釋，有可能是一段時(shí)間、或一個(gè)區(qū)域 … 等等。令 X代表 4顆中紅球的顆數(shù)，試寫出 X的機(jī)率函數(shù)。若從盒子中隨意取出一球，記錄顏色後放回，重複執(zhí)行 5次，則 5次中紅球正好出現(xiàn) 3次的機(jī)率是多少？ 解： ( ) ( ) ( )325 213 3 3 3 80243PX ???? ????? 2 1 8 02 4 3? ?二項(xiàng)分布的機(jī)率函數(shù) 若 X~B(n,p)，則 X的機(jī)率函數(shù)為 () , , , ,(),0101x n xnppxxnpx?? ??? ??????????其 他二項(xiàng)分布的應(yīng)用 ? 品管工程師會(huì)關(guān)心瑕疵品的比例是否過高 – 因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量太大，通常只能抽驗(yàn) –
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