離散型隨機(jī)變數(shù)(文件)
【正文】 2 2022 1 3 3 1 30 1 4 98 8 8 8 224 9 38 4 4xE X x p x? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ?93??X的線性函數(shù)之變異數(shù) 定理 (X的線性函數(shù)之變異數(shù) ) V(aX+b)=a2V(X) 例 (續(xù)例 )設(shè) X為離散型隨機(jī)變數(shù)，機(jī)率函數(shù)如下，試求 2X 3之變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差： ()0 1 2 31 3 3 18 8 8 8xpx解： 32??2 34? ? ()()()()232 3 2 3 0232232 4 334EXVXEXVX? ? ? ? ??? ??? ??( ) ( )2 323E X E X??)( V X ??( ) 4322V X()2 3 3VX? ? ? ?變異數(shù)性質(zhì) 1. 因為 (Xμ)2?0，所以變異數(shù) σ2 = E[(Xμ)2]的值必定是 非負(fù) 的。 2. 每一次試驗的結(jié)果只有 兩種可能 ：成功 (S)或失敗 (F)。 符合以上第 1項到第 4項描述的試驗，便叫做 二項隨機(jī)試驗(binomial random experiment)。 設(shè) X1,X2,… ,Xn為互相獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變數(shù)， p=P(Xi=1)，則 的分布是參數(shù)為 n、 p之二項分布。小翰完全沒讀書，每一題都是瞎猜，試求他 (a)恰好答對 5題的機(jī)率； (b)至少答對 6題的機(jī)率。若令 X代表在上述架構(gòu)下，所抽出 n件中第一類的件數(shù)， X就叫做超幾何隨機(jī)變數(shù) ， 參數(shù)為 N、M、 n，其機(jī)率函數(shù)如下： 若 X為參數(shù) N、 M、 n的超幾何隨機(jī)變數(shù)，則其機(jī)率函數(shù)為 x為非負(fù)整數(shù) 符號 max(a, b)，代表 a, b中較大的數(shù)；符號 min(a, b)，則代表 a, b中較小的數(shù)。某次上課，老師以隨機(jī)抽座號的方式任意選出 5位同學(xué)上臺做報告。阿花很勇猛的隨便抓了 10件，試求 10件 T恤中，瑕疵品不超過 2件的機(jī)率。 ( ) ( ) , , , ,! 0 1 2xep x P X x xx? ??? ? ? ?例 假設(shè)秘書張小姐所打的文件，平均每一頁有 。令 X代表某個上班日從 10：00到 11： 12的求診人數(shù)，求 (a)X的期望值和變異數(shù) (b)P(X?3) 解： (a)從 10： 00到 11： 12中間有一小時 12分鐘，也就是 ，所以這段時間的平均求診人數(shù)是 λ=3?= X的期望值和變異數(shù)都等於 。 n=20,p=, λ=np=1 n=10,p=, λ=np=1 x b(x) p(x) |b(x)p(x)| x b(x) p(x) |b(x)p(x)| 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 例 某製造商生產(chǎn)的聖誕樹裝飾用彩色小燈泡中，有 3%屬於瑕疵品。 直接用二項分布求機(jī)率，必須計算下式 ( ) ( . ) ( . )410001004 0 0 3 0 9 7xxxPX x ?????? ?????改用卜瓦松分布來逼近，參數(shù)為 λ=np=100()=3，則可得近似機(jī)率 ( ) .!34034 0 8 1 5xxePXx??? ? ??。利用卜瓦松分布來求 100個小燈泡中，瑕疵品不超過 4個的機(jī)率。 一般來說， n至少應(yīng)該要滿足 n?20，且 p的大小和 n的大小也有關(guān)係； n若不夠大， p應(yīng)該要小些， n若較大，則 p不需太小即可。假設(shè)錯誤數(shù) X符合卜瓦松分布，試求該份報告當(dāng)中 (a)恰好有 2個錯的機(jī)率； (b)至少有 4個錯的機(jī)率；(c)完全沒有錯誤的機(jī)率。雖然計次的對象
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