離散型隨機(jī)變數(shù)-文庫(kù)吧資料
2024-08-02 05:59本頁(yè)面
【正文】 同者，可得六獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金 200元。小翰完全沒讀書，每一題都是瞎猜，試求他 (a)恰好答對(duì) 5題的機(jī)率； (b)至少答對(duì) 6題的機(jī)率。若從盒子中隨意取出一球，記錄顏色後放回，重複執(zhí)行 5次，則 5次中紅球正好出現(xiàn) 3次的機(jī)率是多少？ 解： ( ) ( ) ( )325 213 3 3 3 80243PX ???? ????? 2 1 8 02 4 3? ?二項(xiàng)分布的機(jī)率函數(shù) 若 X~B(n,p)，則 X的機(jī)率函數(shù)為 () , , , ,(),0101x n xnppxxnpx?? ??? ??????????其 他二項(xiàng)分布的應(yīng)用 ? 品管工程師會(huì)關(guān)心瑕疵品的比例是否過(guò)高 – 因?yàn)楫a(chǎn)品數(shù)量太大，通常只能抽驗(yàn) – 抽驗(yàn)產(chǎn)品屬於取出不放回形式，前後結(jié)果之間不獨(dú)立 – 在產(chǎn)品總數(shù)量極大，抽出檢查的件數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)很小時(shí)，取出不放回和取出放回差別不大，可視為前後結(jié)果互相獨(dú)立 – 在此假設(shè)下，若從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽出若干件產(chǎn)品來(lái)檢驗(yàn)，則瑕疵品的總件數(shù)可視為符合二項(xiàng)分布 ? 精品店關(guān)心的是來(lái)店的顧客是否有消費(fèi) – 經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的紀(jì)錄，發(fā)現(xiàn)進(jìn)店後有消費(fèi)的顧客比例是 p，則 n位顧客中的消費(fèi)人數(shù)，亦大致可視為參數(shù)為 n及 p的二項(xiàng)隨機(jī)變數(shù)。 設(shè) X1,X2,… ,Xn為互相獨(dú)立的伯努利隨機(jī)變數(shù)， p=P(Xi=1)，則 的分布是參數(shù)為 n、 p之二項(xiàng)分布。 若令 X等於試驗(yàn)的成功次數(shù)，則 X的可能值只有 0或 1(結(jié)果得到「成功」，則 X= 1，否則 X=0)，我們稱 X為伯努利隨機(jī)變數(shù) ，參數(shù)為 p=P(X= 1)。 符合以上第 1項(xiàng)到第 4項(xiàng)描述的試驗(yàn)，便叫做 二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)(binomial random experiment)。 4. 各次試驗(yàn)之間 相互獨(dú)立 。 2. 每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有 兩種可能 ：成功 (S)或失敗 (F)。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，這樣的 X已不夠資格叫做隨機(jī)變數(shù)了，因?yàn)樗闹涤肋h(yuǎn)都一樣，毫無(wú)變化。 2???註： σ2 =V(X) =E[(Xμ)2]=E(X2) μ2 例 設(shè) X為離散型隨機(jī)變數(shù)，機(jī)率函數(shù)如下，試求 X之變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差： ()0 1 2 31 3 3 18 8 8 8xpx解： X之期望值： () 1 3 3 1 30 1 2 38 8 8 8 2EX? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? [ ( ) ] ( ) ( )32 2 209 1 1 3 1 3 9 14 8 4 8 4 8 4 83432xE X x p x?????? ? ? ? ? ? ????? ?(( ) ( ) )32 2 2 2022 1 3 3 1 30 1 4 98 8 8 8 224 9 38 4 4xE X x p x? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ?93??X的線性函數(shù)之變異數(shù) 定理 (X的線性函數(shù)之變異數(shù) ) V(aX+b)=a2V(X) 例 (續(xù)例 )設(shè) X為離散型隨機(jī)變數(shù)，機(jī)率函數(shù)如下，試求 2X 3之變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差： ()0 1 2 31 3 3 18 8 8 8xpx解： 32??2 34? ? ()()()()232 3 2 3 0232232 4 334EXVXEXVX? ? ? ? ??? ??? ??( ) ( )2 323E X E X??)( V X ??( ) 4322V X()2 3 3VX? ? ? ?變異數(shù)性質(zhì) 1. 因?yàn)?(Xμ)2?0，所以變異數(shù) σ2 = E[(Xμ)2]的值必定是 非負(fù) 的。計(jì)算玩此項(xiàng)遊戲一次所得
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