第37講空間夾角和距離-資料下載頁
2025-06-29 17:31本頁面
【正文】 點(diǎn)到平面的距離可能是：①1； ②2； ③3； ④4； 以上結(jié)論正確的為______________。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）ABCDA1解析：（1）如圖，B、D、A1到平面的距離分別為4，則D、A1的中點(diǎn)到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；B、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；C、A1的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7；而P為C、CBD1中的一點(diǎn)，所以選①③④⑤。（2）如圖，B、D到平面的距離為2，則D、B的中點(diǎn)到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；B、C到平面的距離為2，D到平面的距離為，則，即，所以D到平面的距離為1；C、D到平面的距離為2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。題型6：線面距離BACD例11．已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，D是AC的中點(diǎn)。（1）求點(diǎn)到直線AC的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結(jié)BD，由三垂線定理可得：，所以就是點(diǎn)到直線AC的距離。在中．。（2）因?yàn)锳C與平面BD交于ＡＣ的中點(diǎn)Ｄ，設(shè)，則//DE，所以//平面，所以到平面BD的距離等于Ａ點(diǎn)到平面BD的距離，等于Ｃ點(diǎn)到平面BD的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面BD的距離是。思維點(diǎn)拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。例12．ACBPEF圖7如圖7，已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點(diǎn)，面，且，設(shè)平面過且與平行。 求與平面間的距離？分析：設(shè)、的單位向量分別為、選取{，}作為空間向量的一組基底。易知，===，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，直線與平面間的距離=五．思維總結(jié)1．這些角是對點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何知識(shí)（特別是余弦定理）熟練解題。特別注意:空間各種角的計(jì)算都要轉(zhuǎn)化為同一平面上來，這里要特別注意平面角的探求；2．把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決。求角的三個(gè)基本步驟：“作”、“證”、“算”。3．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn)：①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置；②作線面角的方法除平移外，補(bǔ)形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理；③求二面角高考中每年必考，：根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點(diǎn)在于找到面的垂線。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則。此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當(dāng)扣分。④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影，此時(shí)?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì)。而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法；⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個(gè)三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離。4．注意數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用（1）常用等角定理或平行移動(dòng)直線及平面的方法轉(zhuǎn)化所求角的位置；（2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉(zhuǎn)化所求距離的位置；（3）常用割補(bǔ)法或等積（等面積或等體積）變換解決有關(guān)距離及體積問題。歡迎
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