第12講空間中的夾角和距離-資料下載頁
2025-06-29 16:27本頁面
【正文】 移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點”，作另一條直線的平行線；或過空間任一點分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角θ，構(gòu)造一個含θ的三角形，解三角形即可。方法二是補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。（2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點（斜足），然后在直線上取一點（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：①根據(jù)定義作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱后同上進行。間接法主要是投影法：即在一個平面α上的圖形面積為S，它在另一個平面β上的投影面積為S′，這兩個平面的夾角為θ，則S′=Scosθ。如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q(圖1)；(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q(圖2)；(4) 設(shè)A為平面a外任一點，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q(圖3)；(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S162。，則cosq＝. 圖 1 圖 2 圖 32．空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．求距離的一般方法和步驟是：一作——作出表示距離的線段；二證——證明它就是所要求的距離；三算——計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置.②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理.③求二面角高考中每年必考，：根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面?！癱osθ＝”求二面角否則要適當扣分。④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，.⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離求距離的關(guān)鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸，各種具體方法如下：（1）求空間中兩點間的距離，一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。（2）求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，即用體積法。歡迎
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