線性代數(shù)期末考試試卷答案合集-資料下載頁
2025-06-28 22:10本頁面
【正文】 f(x1,x2,x3)=，并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）=0，試證明EA可逆，且（EA）1=E+A+A2.=b的一個特解，ξ1，ξ2是其導出組Ax=（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分） 二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15. 6 16. 17. 4 18. –10 19. η1+c(η2η1)（或η2+c(η2η1)），c為任意常數(shù)20. nr 21. –5 22. –2 23. 1 24. 三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）（1）ABT==.（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=. 所以|4A|=64（2）=128 == AB=A+2B即（A2E）B=A，而（A2E）1=所以 B=(A2E)1A== 所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）. 對矩陣A施行初等行變換A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第5列或4列，或5列也是） A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為ξ1=（2，1，0）T， ξ2=（2，0，1）T. 經(jīng)正交標準化，得η1=，η2=.λ=8的一個特征向量為 ξ3=，經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為 T=. 對角矩陣 D=（也可取T=.） f(x1，x2，x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x37x32=（x1+2x22x3）22（x2x3）25x32.設，即，因其系數(shù)矩陣C=可逆，故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形 y122y225y32 .四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分） 由于（EA）（E+A+A2）=EA3=E，所以EA可逆，且（EA）1= E+A+A2 . 由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b， 所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0， 即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而 l0=0 .所以η0，η1，η2線性無關。共3頁第18
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