【正文】 在處的調節(jié)映射:為一個集值映射 ()當非空時,稱是嚴格的,滿足上式()的一個u稱為系統(tǒng)(U,f)的一個生存選擇.調節(jié)映射是系統(tǒng)”魯棒性”指示器, 越大,系統(tǒng)的生存選擇范圍越大,抗干擾能力也就越強,可生存性越強.(生存解) 對于系統(tǒng)(U,f),稱是一個生存解,如果x(t)滿足 . () (生存域) 如果對于每一個,至少存在一個生存選擇 ,則稱K為該決策系統(tǒng)懂得一個生存域. (慢解) 對于動態(tài)控制系統(tǒng)(U,f),如果控制u(x(t))滿足:對幾乎所有的t,在RK(x) 中達到范數最小,則稱這樣的狀態(tài)x為系統(tǒng)的慢解,此時最小.慢解是針對達到最小而言的,同樣我們可以選取達到最小,這就涉及到集值映射的微分學問題. (相依導數) 考慮一個集值映射, X,Y為賦范線性空間,集值映射的相依導數DF(x,y)定義為一個X到Y的集值映射: ()其中,表示集值映射的圖,TGr(F)(x,y)表示集值映射F的圖在Gr(F) 在點(x,y)相依錐.上式()的意義可以表達為:F的圖像在點(x,y)處的相依錐是F在該點的相依導數DF(x,y)的圖.現在對生存選擇: 的兩端求導,得到”一階調節(jié)律”: 由此,可定義重生存解,即它是在集合中使控制速度的范數達到最小的可生存解,用數學描述為: 在一些經典系統(tǒng)中,控制往往就是狀態(tài)的速度,于是控制的速度就是狀態(tài)的加速度,使加速度最小就是使加速度具有最大慣性,這就是重解這個名稱的由來,這個觀點導致引入與控制相關的K的生存穴N(u)的概念,它定義為: 在這樣的生存穴中,狀態(tài)是在控制維持不變的作用下進行演化的。四 生存選擇及選擇措施對一個決策系統(tǒng)(U,f),假定其約束為,生存選擇要解決的問題是(i) 是否存在可生存解軌跡(相當于是否存在生存選擇,即 K是否是生存域或RK(x) 是否是嚴格的)。(ii) 如果RK(x)是嚴格的,可能有多個生存選擇和相應的生存軌跡,如何選擇和.第一個問題由下面的生存選擇定理回答. (生存選擇定理) 考慮Marchaud 決策系統(tǒng) (U,f),閉子集為其生存域,則RK(x)是嚴格的,當且僅當K是一個生存域。并且,任何一個決定生存解的開環(huán)生存選擇遵循生存選擇律,若K不是(U,f)的生存域,則存在一個生存核Viab(K).對第二個問題的回答，需要確定一種選擇準則，選擇準則有多種，最基本的要求是軌跡必須是生存的，更嚴格的要求有下面三種[42]： (i) 在生存集內，要求軌跡盡可能長時間穩(wěn)定地處于生存集內；(ii) 在生存集內，要求軌跡變化滿足一定的偏序數；(iii) 在生存集內，要求軌跡能達到某一目標集等.除了選擇準則以外，還要一種選擇機制，選擇機制是通過選擇措施來實現的。（選擇措施） 設Z是一個賦范空間，生存策略映射的選擇程序是一個集值映射滿足：(i)(ii) 的圖是閉的.并稱集值映射是的選擇.第二節(jié) 模型的建立一 經濟增長和生產函數1. 經濟增長 經濟增長理論是現代西方宏觀經濟理論的一個重要組成部分。經濟持續(xù)、穩(wěn)定地增長已成為世界各國政府追求的目標。同時，西方經濟理論界也在探索著經濟增長因素的奧秘，、,經濟增長因素的分析取得了很大的成果,索洛為此還榮獲了1987年諾貝爾經濟學獎.決定經濟增長的因素很多,諸如勞動力、生產資料、及其在生產過程中的社會結合和改進 、,技術進步因素是經濟增長的重要因素,其作用表現為內涵的擴大再生產,不是靠增加勞動力和資金的投入量,而是靠提高生產要素的使用效率. 中國的經濟現在已經處于市場經濟階段。隨著改革開放的進一步擴大和深入,市場經濟的程度也就越來越高,從經濟增長方式來看,:企業(yè)來看,實現收入或利潤持續(xù)、穩(wěn)定地增長是其最主要的目標,我們可以借鑒索洛等人關于經濟增長的研究成果應用到企業(yè)的生產和經營中,主要應用的模型為索洛的新古典單一部門的增長模型[43].2. 生產函數生產函數是描述生產過程中投入的生產要素的某種組合同它可能生產的最大產量之間的數學表達式,即Y=F (A, K, L) ()其中，Y為產出量，A、K、L等分別表示技術、資本、勞動力等投入生產要素。它們具體的含義分別如下：Y：指一個經濟實體的國民收入或產值，即某時期內該經濟實體所生產的各種物品和勞動，通常用貨物或勞務的市場價格來衡量，這里的經濟實體指企業(yè)。A：技術進步包括科學技術的進展和管理方法的改進，例如設計出高效率的機器、設備、或改進勞動組織等。K：指資本存量，即任何一個時間點上一個廠商或一個經濟實體現有的被生產出來的生產資料存量—即固定資本設備的存量，包括土地、住宅和非住宅建筑、設備和存貨。L：指勞動力，這里用相對勞動來衡量，即用勞務支出和數額來表示，一般地，這個支出是對勞動者工作能力和知識水平等的認可，反映了勞動者的年齡、工作時間 、教育水平、工作經驗等的差別。生產要素對產出量的作用和影響，主要是由一定的技術條件決定的，在一定的技術條件下，就有一定的生產函數，所以從本質上講，生產函數反映了生產過程中投入要素與產出量之間的技術關系。生產要素對產出的彈性系數：某投入要素對產出的彈性指的是，當其它生產要素不變時，產出量增加的百分比與該要素增加的百分比的比例。它是從動態(tài)變化的角度來衡量生產要素投入與產出間經濟效益的指標。例如，勞動的產出彈性為： .3. 企業(yè)經濟增長的基本微分方程式在引入基本方程式之前，我們作出如下假設：(i) 企業(yè)只生產一種產品，對于不同部門的產品可以進行同值化處理，這種產品可有多種用途，既可用于消費，又可用于投資；(ii) 產出Y和儲蓄S之間的關系滿足S=sY,這里的s是儲蓄或投資比例且滿足0s1,儲蓄自動轉化為投資，即有S=I，I為企業(yè)為生產活動進行的投資；(iii) 資本存量并不折舊，投資I不過是這種復合商品的資本存量增加率，即：；(iv) 勞動力L按一個比例率n增長，即，其中為L的導數，一般認為n為常數，因為企業(yè)一般每隔一段時間或者增加工人工資，或者增加工人人數以維持生產活動；(v) 該企業(yè)的技術可能性可以用Cobb—Douglas生產函數表示，它是連續(xù)的，并且規(guī)模報酬不變：Y=f(A,K,L)=A(t)KαL1α 01 ()另外，我們還假定（）滿足以下條件：（1） 產出—資本比例，是可變的，資本—勞動比也是可變的；（2） 邊際生產力遞減(當增加某生產要素時，等量生產要素投入的產出增加量變得越來越小)，即有 ， 其中，f =f(A,K,L)為生產函數。（3） 無投入就無產出，即如果沒有使用任何資本或勞動，則不能產出任何產品：即已知Y=f(A,K,L),如果K=0,則Y=0。（4） 當時，資本的邊際產量為0,在k非常高的水平上,資本的邊際產量變得非常小,即 (5) 當k趨于0時,資本的邊際產量趨于無窮大,即: (6) 每個勞動者的無限高的產出水平是與資本對勞動的無限大的比率相聯系的,即:滿足上述條件的總體生產函數被認為是性質良好的,這些條件被稱為稻田石條件[44]。由上,可以得出關于企業(yè)增長的模型(此時的技術進步因素包含在資本或勞動力要素投入上，并且只考慮C—D生產函數，):Y= f (K,L) () () () ()由式()有: 所以有以下關于k的一階非線性微分方程: ()上式()中: k: 為人均占有的資本存量。sf(k):為每個工人所分配的投資流量。nk: 勞動者按n增長的條件下,為保持k不變所要求的投資量,即“資本加寬”.上式（）的含義即為：資本—勞動比的變化率是由每一工人的投資量在勞動力增長時為保持資本—勞動比不變所要求的量的差額量所決定的。如果該企業(yè)中每一工人的儲蓄大于這個量，那么很明顯，資本存量將比勞動力增長得更快，而資本—勞動比就會隨之提高。二 企業(yè)增長過程中的Walras均衡模型（1） Walras 均衡的概念這里，我們借用亞當斯密的系統(tǒng)分散化的思想:企業(yè)系統(tǒng)是由若干部門小企業(yè)組成,每個部門都有自己的目標,使各部門都追求自己的目標,而其結果是更好地促進了企業(yè)的總目標,這個手段就是前面提到的綜合投入SDP,它是通過評判的方法得到的,因而是看得見的,也感覺得到的.設部門DPi(i=1,2,…,M)的綜合投入為SDPi(i=1,2,…,M),SDPi又包括兩個因素SDPKi和SDPLi,而技術進步是認為包含在資本的投入(如設備的改造等)或勞動力的投入上(如勞動者技能培訓等),所以我們有: ()另外，我們設部門DPi(i=1,2,…,M)的實際資本投入為Ki,實際勞動力投入為Li,則有: Ki= SDPKiK () Li= SDPLiL ()令企業(yè)可供支配資源向量為S, 部門DPi(i=1,2,…,M)的需求函數為θi,則有： S:= () θi:= ()則式（）和式（）滿足下式： （）上式即為： （）確定上式（）的SDPi的一個解稱為一個“Walras均衡”。（2） 均衡模型 設企業(yè)有兩種要素投入K和L，而技術進步的投入則包含在K和L中。我們可以用下面的模型描述企業(yè)系統(tǒng)：（1） 資源向量；（2） 設企業(yè)有M個部門DPi(i=1,2,,M), 部門DPi的生產要素投入為需求函數，定義一個分配，即部門DPi資源的供給函數為，則有：，同時滿足M個部門總要素投入量落在資源集S中，我們記： ()為企業(yè)系統(tǒng)的生存域,即在內我們認為系統(tǒng)是生存的,上式()中, , 為部門DPi的產出, TGi為部門DPi的產出目標集.我們記: , i=1,2,…,M.下面我們定義一個均衡部門綜合投入集合為: ()上式()中,為對部門DPi的保持為初值時的一個常數,上式的意思就是為了保持企業(yè)生產經營均衡增長,即企業(yè)生產能力和勞動力配置達到平衡,此時,必存在滿足條件的一個SDP,當企業(yè)按這個SDP在部門之間分配資源時,企業(yè)必能保持均衡增長[45]。我們把勞動力增長變化反映到資本變化當中去,即在SDPi中,我們就考慮SDPKi的作用，設ki為部門DPi的人均資本占有，Ii為部門DPi的人均投資,si為部門DPi 的儲蓄(或投資)的比例,ni為部門DPi的勞動力增長率,則處理后的結果為:,而相應總的企業(yè)人均投資變?yōu)镮=nsf(k).函數刻劃了部門DPi的投資量需求,而支持函數可以看作M個部門在綜合投入SDP下占有的總的生產資源供給,則此時有： （）于是有:由此,我們將尋求一個均衡部門投入,使下式達到平衡: () 滿足式()的部門綜合投入稱為一個“Walras均衡”或“出清市場”。由式()還可以看出,這個模型是分散化的,所謂分散化是指一個由許多不同目標的行為激勵的復雜系統(tǒng)分配有限資源的能力。第DPi部門的投入要素的需求只與該部門的綜合投入及該部門的分配的投入要素有關,對整個企業(yè)來說,應該有一個人均資本投入不能超過最大人均資本產出的儲蓄(或投資)比例數,即: ()上式()即為廣義的 Walras律，即企業(yè)人均投資需求不能超過人均供給。同樣對于各個部門的個體而言,我們有狹義的Walras律: () 為推出企業(yè)系統(tǒng)中Walras均衡的的存在,下面不加證明地引入KyFan定理。 (KyFan定理) 如果K為緊凸集,函數滿足:(i) 是下半連續(xù)的。(ii) 是凸的。(iii) 那么,存在,使: 很明顯,根據上述式()及().我們可以得出如下定理: 如果:I、 資源集S是閉凸的。II、 ,部門要素投入集是閉凸的,且有下界。III、 需求函數連續(xù),且滿足廣義Walras律()那么,該企業(yè)系統(tǒng)存在一個Walras平衡.證明: 令為定義在上的函數, 函數對SDP來說顯然是下半連續(xù)的，因為對SDP是下半連續(xù)的,對I來說顯然是凸的,所以有: 因此,由KyFan不等式,可以推出:存在一個Walras