【正文】 001）建立了彈性需求下擁擠道路收費的模型，但該模型只是針對標準的交通網絡的，在該網絡中只有一種車。谷強、李志純（2002）建立了混合交通平衡下的擁擠道路收費模型，該模型將標準網絡進行拓展，考慮了公交車和小汽車混合交通下的收費策略，但是以確定性的配流理論為基礎。所以有必要對上述各研究成果進行改進。本章將以隨機配流理論為基礎，建立混合交通下的擁擠道路收費雙層規(guī)劃模型。 混合交通下下層SUE模型的建立 首先考慮路徑選擇的隨機用戶平衡。假定任意起訖點和間所有小汽車司機相信路徑具有最小的阻抗，隨機用戶平衡下，OD對和間路徑被選中的概率是： （）所以， （）并且： （）同理可證，起訖點和間所有公交車司機相信路徑具有最小的阻抗，則路徑被選中的概率是： （）所以， （）并且有 （） 其次，考慮方式選擇。，在OD對已經確定的條件下，小汽車被選中的概率是： （）其中 （） （） 現在問題是如何確定一個收費策略，能夠得到，是它們分別滿足約束條件： （） （） （） ，， （） 并且同時滿足： () () () () 為此，可以構造極小值模型如下（P1）： + + －. （） （） （） （） （） , （）目標函數中，表示路段上小汽車的廣義出行費用，其中包括道路擁擠收費，即： （）這里所需指出的是，為了計算上的方便，本文所討論的收費其單位是與阻抗的單位相一致，即都是以時間作為衡量標準。把與實際的時間價值相乘就能得出真正意義上的收費。并且路徑的廣義出行費用與路段上的費用之間的關系是： （） 上述模型的目標函數本身并沒有任何直觀的物理含義，創(chuàng)建上述形式的目標函數的目的僅在與推導模型的解與路徑流量、方式選擇等要求之間的等價關系。約束條件（）是OD需求約束；（）、（）分別表示小汽車、公交車的路徑流量與OD流量之間的關系；（）、（）分別表示小汽車、公交車的弧流量與路徑流量之間的關聯關系；（）是非負約束。 下層極值模型與路徑流量、方式選擇要求的等價性證明 該模型是一個帶線性等式和非負值約束的極小值問題，其Lagrangian函數為： + 其中，分別是對約束條件（）、（）、（）的對偶變量。 對于任何一個數學規(guī)劃問題，其任意局部極小解或駐點解均滿足一階條件。如果該模型的一階條件等價于路徑流量、方式選擇要求，則說明任意極小點（或駐點上），路徑流量、方式選擇要求成立，問題的一階條件等價于使Lagrangian函數極小的條件，同時要求：, Lagrangian函數的變量是,，及對偶變量，其一階條件為： （） （） （） （） （） 因模型中存在，所以一階條件（）、（）、（）、（）可以改寫為： 因為 = 同理 經計算得 （） （） （） （） =0 （） （） （） 根據（）得 則 （） 則 () 同理根據（）得 由（）得 （） 將（）代入（）得： 同理 則 所以 （） 同理可證 （） 這說明極小值問題的解就是滿足路徑流量、方式選擇的要求，從而完成了等價性的證明。 上層決策者模型的建立 從上層管理者的角度來看，擁擠道路收費的最終目的是要使整個路網系統(tǒng)的性能達到最優(yōu)，通常用來衡量路網性能的指標有以下兩個： （1）使總的網絡成本最小； （2）使總的網絡收益最大。 用表示總的網絡成本：= （） 用表示總的網絡收益：= （） 一般來說，同時優(yōu)化兩個目標的收費是不相同的。如果僅以作為上層模型的目標函數，則當總的網絡成本達到最小時，總的網絡收益卻不能達到最優(yōu)；同樣，以作為目標函數，當總的網絡收益達到最大，有可能會導致網絡成本不合理。僅以或作為上層模型的目標函數并不能全面地體現整個交通網絡的性能，所以，為了協調這兩者之間的關系，本文以總的網絡收益與總的網絡成本之差，即，作為上層決策者模型的目標函數。當和之間的差距越大，則說明所實現的網絡收益越大，網絡成本越小。所以，上層模型（P2）如下： max = 　　　　　　. 　 （） 　　　 　 （） 　　　　 （）其中，分別是路段的通行能力與公交車的承載能力（Capacity）。為乘坐小汽車的人數與小汽車的比例，在本文設。 混合交通平衡下擁擠道路收費的雙層規(guī)劃模型 將上層決策者模型與下層混合交通下的SUE模型結合形成如下的雙層規(guī)劃模型（P3）：max . 式中的由下層規(guī)劃模型得到： + + －. , 這一雙層規(guī)劃模型就是尋找一個收費策略，使得當交通網絡滿足混合交通下的路徑選擇和方式選擇的要求時，整個系統(tǒng)的性能達到最優(yōu)。 下層SUE模型的算法 在介紹下層SUE模型的算法之前，先來證明該模型最優(yōu)解的唯一性。 可以證明目標函數是嚴格凸函數，具體證明過程如下：因為 則 根據（）可知，同理 并且 所以[]對應的Hessian矩陣是正定的，故它是嚴格凸函數。 因，則是嚴格凸函數。 同理可證，，是嚴格凸函數；而是線性函數，也試凸函數。所以目標函數是嚴格凸函數。因為約束條件為線性的，故為凸集，因此下層SUE模型具有唯一解。 模型的求解可以利用方向搜索法得到，具體步驟如下： 第一步 初始化。給定、令，確定訖點間的路徑阻抗，以及相應的，置迭代次數n=1； 第二步 使用公式（）、（）、（）、（）計算輔助路徑流量、輔助方式劃分OD流量，； 第三步 確定相應的輔助弧流量； 第四步 求解，使下式最小 + －　　　　?。　　　　。　　　　。　　　　? （） 其中 ， ， 第五步 求出，置，， ， ， 第六步 收斂性檢驗 （）這里是一個給定的正數，如果滿足收斂性準則，則停止迭代，否則重復進行。 雙層規(guī)劃模型的解法在介紹雙層規(guī)劃模型的算法之前先介紹步長加速法的基本原理，如下： 假定欲求某函數的極小點，為此，任選一基點，算出此點的目標函數值。然后沿第個坐標方向以某一步長進行探索，即在和這兩點中尋找能使目標函數值下降的點，并把它作為臨時矢點；再有此點出發(fā)沿另一坐標方向進行同樣的探索，如能得到比以前更好的點，就以該點替代前面的點作為新的臨時矢點。如此沿各個坐標方向輪流探查一遍，并選這一輪探索最好的電（最后的臨時矢點）作為第二個基點。由第一個基點和第二個基點構成了第一個矢模，把第一個矢模加長，即乘以一個加速因子得到。設是第二個矢模的終點，下一步迭代的初始臨時矢點，這樣就構成了第二個矢模。如此繼續(xù)下去就可得到越來越好的目標下降點。 如果探索進行到某一步時得不到新的下降點，則應縮小步長以進行更精細的探索，當步長已縮小到某一精度要求，但仍得不到新的下降點時，即可將該點作為所求得近似極小點，就此停止迭代。 本文設計了一個基于步長加速法和懲罰函數法的直接搜索發(fā)來求解雙層規(guī)劃模型。該算法把下層SUE模型視為上層模型的約束條件，下層模型在雙層規(guī)劃模型中的作用是傳遞變量值，整個算法的核心是求解上層模型。 先將上層模型利用懲罰函數法化為無約束的極值問題，得到如下模型（P4）： －++ （） . 算法的基本思路是：對給定的懲罰因子利用步長加速法求解模型（P4）。選定一組初始收費方案，先進行探測搜索：即在當前收費方案下，求解下層SUE模型，將求解得到的路段流量和OD流量反饋到上層模型中，再按一定步長探求一組使目標函數式（）下降的新的收費方案，若這樣的方案不存在，則判斷是否滿足停止準則（為達到該精度要求的步長），如果不滿足，則減小步長重新探求；若存在這樣的方案，則進行模式搜索，循著找到的有利下降方向，采用加速因子做步長加速搜索。對每一固定的懲罰因子，兩種搜索重復進行，直至滿足停止準則，得到該懲罰因子下的最優(yōu)解。如果該最優(yōu)解中存在路段流量超過其通行能力，則增大懲罰因子的值，重復以上過程，直至每一條路段上的流量都不超過其通行能力時為止，此時的解即是雙層規(guī)劃模型的最優(yōu)解。 算法的具體步驟如下： 第0步 給定初始懲罰因子，置； 第1 步 選定一組初始收費方案，置，求解下層SUE問題，得到，代入上層目標中計算，選擇初始步長和加速因子，置（）； 第2步 探測搜索，置（為第個元素為1，其余元素為0的單位向量），先置，求解下層SUE問題，計算上層目標。若，則值不變；否則就置，如果這時仍舊,則，重復第二步，即 同理， 重復進行上面的運算，得出； 第3步 模式搜索，若、則令，，轉第2步；若、則轉第4步，否則置，轉第2步； 第4步 若，則加大懲罰因子，即，令轉第1步，否則，輸出的作為最優(yōu)解，停止運算。