【正文】 分布；其次，運(yùn)用Copula理論建立金融模型時(shí)，可將隨機(jī)變量的邊際分布和它們之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)分開(kāi)來(lái)研究，其中，它們的相關(guān)結(jié)構(gòu)可由一個(gè)Copula函數(shù)來(lái)描述，可以捕捉到變量間非線性、非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系，這使建模問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，同時(shí)也有助于我們對(duì)很多金融問(wèn)題的分析和理解。由于這些性質(zhì)和特點(diǎn)，使得Copula理論得到了廣泛重視和應(yīng)用。此外Copula函數(shù)還可以迅速而有效地捕捉到非正態(tài)、非對(duì)稱分布的尾部信息，這對(duì)尾部相關(guān)性分析是極為有用的。事實(shí)上，當(dāng)極值事件發(fā)生時(shí)，金融市場(chǎng)之間的關(guān)系常常會(huì)變得更為緊密即趨向于具有更高的尾部相關(guān)性。如金融危機(jī)爆發(fā)時(shí)，金融市場(chǎng)間的協(xié)同運(yùn)動(dòng)明顯增強(qiáng)，一個(gè)金融市場(chǎng)的波動(dòng)很容易引發(fā)其它金融市場(chǎng)的波動(dòng)，從而使金融危機(jī)從一個(gè)市場(chǎng)擴(kuò)散到另一個(gè)市場(chǎng)。Gumbel、Clayton和Frank Copula函數(shù)包含了尾部相關(guān)各種可能情況即上尾相關(guān)、下尾相關(guān)和上尾、下尾漸近獨(dú)立，而它們的這些分布特性與金融市場(chǎng)之間相關(guān)性的變化特性恰好是相符的。因此可以用Gumbel、Clayton和Frank分布來(lái)刻畫(huà)具有不同相關(guān)模式的各種金融市場(chǎng)之間的關(guān)系，特別是尾部相關(guān)關(guān)系。 Copula函數(shù)的定義和性質(zhì) Definition and Nature of Copula Function可以很好地描述牛市時(shí)期股票市場(chǎng)間相關(guān)性增強(qiáng)的情形。若隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可以由Gumbel Copula函數(shù)來(lái)描述，就意味著在分布的上尾變量間具有更高的相關(guān)性。對(duì)金融市場(chǎng)的收益率序列來(lái)說(shuō)，當(dāng)收益為正的極值時(shí)，金融市場(chǎng)之間將表現(xiàn)出具有更高的相關(guān)性。由于在分布的下尾部變量是獨(dú)立的，因此Gumbel Copula函數(shù)對(duì)變量在分布下尾處的變化不敏感，難以捕捉到下尾相關(guān)的變化。Clayton Copula的密度函數(shù)也具有非對(duì)稱性，但與Gumbel Copula函數(shù)剛好相反，其密度分布呈“L”型即上尾低下尾高。Clayton Copula函數(shù)對(duì)變量在分布下尾處的變化十分敏感，因此能夠快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，可用于描述具有下尾相關(guān)特性的金融市場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，例如它可以很好地描述熊市時(shí)期股票市場(chǎng)間相關(guān)性增強(qiáng)的情形。若隨機(jī)變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可以由Clayton Copula函數(shù)來(lái)描述，就意味著在分布的下尾變量間具有更高的相關(guān)性。對(duì)金融市場(chǎng)的收益率序列來(lái)說(shuō)，當(dāng)收益為負(fù)的極值時(shí)，金融市場(chǎng)之間將表現(xiàn)出具有更高的相關(guān)性。由于在分布的上尾變量是漸近獨(dú)立的，因此Clayton Copula函數(shù)對(duì)變量在分布上尾處的變化不敏感，難以捕捉到上尾相關(guān)的變化。Frank Copula的密度分布呈“U”型，具有對(duì)稱性，因此無(wú)法捕捉到隨機(jī)變量間非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系。因此Frank Copula函數(shù)只適合于描述具有對(duì)稱相關(guān)結(jié)構(gòu)的金融市場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系。此外由于變量在分布的尾部是漸近獨(dú)立的，因此Frank Copula函數(shù)對(duì)上尾和下尾相關(guān)性的變化都不敏感，難以捕捉到尾部相關(guān)的變化。 Copula 函數(shù)與相關(guān)性分析Copula 函數(shù)實(shí)際上是連接隨機(jī)變量邊緣分布的累積分布函數(shù)。事實(shí)上Copula 函數(shù)描述了變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，運(yùn)用 Copula 技術(shù)來(lái)分析隨機(jī)變量間的相關(guān)性有很多優(yōu)點(diǎn)，與線性相關(guān)系數(shù)相比，由 Copula 函數(shù)導(dǎo)出的一致性和相關(guān)性測(cè)度可以捕捉到變量間非線性的相關(guān)關(guān)系，因此應(yīng)用范圍更廣、實(shí)用性更強(qiáng)，而與其它基于聯(lián)合分布函數(shù)的建模方法相比，Copula 模型更為靈活，首先 Copula模型不限制邊緣分布的選擇，而且 Copula 函數(shù)有很多分布族，當(dāng)二元或多元正態(tài)分布假設(shè)被拒絕的時(shí)候，可以選用不同的邊緣分布和 Copula 函數(shù)，以達(dá)到最好的擬合效果。其次，Copula 模型可以將隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度和相關(guān)模式有機(jī)的結(jié)合在一起，不僅可以得到度量相關(guān)程度的相關(guān)參數(shù)，還可以得到描述相關(guān)模式的 Copula 函數(shù)，因此可以更全面地刻畫(huà)隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系。Gumbel、Clayton和Frank Colula 函數(shù)是三類常用的二元阿基米德Copula函數(shù)，下面簡(jiǎn)要介紹這幾類Copula函數(shù)及它們?cè)谙嚓P(guān)性分析中的應(yīng)用特點(diǎn)。（1）Gumbel Copula函Gumbel Colula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：其中，為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量，獨(dú)立，即；當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量，趨向于完全相關(guān)，且，即當(dāng)時(shí)，Gumbel Copula函數(shù)趨向于Frechet上界。另外，Gumbel Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)與傳統(tǒng)的相關(guān)性和一致性測(cè)度常常有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如Kendall的秩相關(guān)系數(shù)與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為：此外，相關(guān)參數(shù)還與尾部相關(guān)系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系：Gumbel Copula的密度函數(shù)具有非對(duì)稱性，其密度分布呈“J”字性，即上尾高下尾低。Gumbel Copula 的密度函數(shù)具有非對(duì)稱性，其密度分布呈“J”字形，即上尾高下尾低。Gumbel Copula函數(shù)對(duì)變量在分布上尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到上尾相關(guān)的變化，若兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可由Gumbel Copula函數(shù)，來(lái)描述，就意味著在分布的上尾部，變量間具有更強(qiáng)的相關(guān)性。而在分布的下尾部，由于變量是漸進(jìn)獨(dú)立的，因此Gumbel Copula函數(shù)對(duì)變量在分布下尾部的變化不敏感，難以捕捉到下尾相關(guān)的變化。Gumbel Copula函數(shù)可用于描述具有上尾相關(guān)特性的金融市場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，例如它可以很好地描述牛市時(shí)期股票市場(chǎng)間相關(guān)性增強(qiáng)的情形，即當(dāng)一個(gè)股票市場(chǎng)的股票價(jià)格普遍暴漲時(shí)，另一個(gè)股票市場(chǎng)也出現(xiàn)股票價(jià)格普遍暴漲的可能性明顯增大，兩個(gè)股票市場(chǎng)之間傾向于具有更強(qiáng)的相關(guān)性。（2）Clayton Copula函數(shù)Clayton Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：其中，為相關(guān)參數(shù)。當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量，趨向于獨(dú)立，即，；當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量，趨向于完全相關(guān)，且，即當(dāng)時(shí)，Clayton Copula函數(shù)趨向于Frechet上界。另外，Clayton Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)與傳統(tǒng)的相關(guān)性和一致性測(cè)度常常有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如Kendall的秩相關(guān)系數(shù)與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為：此外，相關(guān)參數(shù)還與尾部相關(guān)系數(shù)由對(duì)應(yīng)關(guān)系：與Gumbel Copula函數(shù)相同，Clayton Copula的密度函數(shù)也具有非對(duì)稱性，但與Gumbel Copula函數(shù)剛好相反，Clayton Copula函數(shù)的密度分布呈“L”字形即上尾低下尾高。Clayton Copula函數(shù)對(duì)變量在分布下尾部的變化十分敏感，能夠快速捕捉到下尾相關(guān)的變化，若兩個(gè)隨機(jī)變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)可有Clayton Copula函數(shù)來(lái)描述，就意味著在分布的下尾部，變量間具有更強(qiáng)的相關(guān)性。而在分布的上尾部，由于變量是漸進(jìn)獨(dú)立的，因此，Clayton Copula函數(shù)對(duì)變量在分布上尾部的變化不敏感，難以捕捉到上尾相關(guān)的變化。Clayton Copula函數(shù)可用于描述具有下尾相關(guān)特性的金融市場(chǎng)之間的相關(guān)關(guān)系，例如它可以很好地描述熊市時(shí)期股票市場(chǎng)間相關(guān)性增強(qiáng)的情形，即當(dāng)一個(gè)股票市場(chǎng)的股票價(jià)格普遍暴跌時(shí)，另一個(gè)股票市場(chǎng)也出現(xiàn)股票價(jià)格普遍暴跌的可能性明顯增大，兩個(gè)股票市場(chǎng)之間傾向于具有更強(qiáng)的相關(guān)性。（3）Frank Copula函數(shù)Gumbel Copula 和Clayton Copula函數(shù)只能描述變量間的非負(fù)相關(guān)關(guān)系，而Frank Copula函數(shù)還可以描述變量間的負(fù)相關(guān)關(guān)系。Frank Copula函數(shù)的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：其中為相關(guān)參數(shù)。，隨機(jī)變量，正相關(guān)，表示隨機(jī)變量，趨向于獨(dú)立，表示隨機(jī)變量，負(fù)相關(guān)。另外，F(xiàn)rank Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)與傳統(tǒng)的相關(guān)性和一致性測(cè)度常常有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如Kendall的秩相關(guān)系數(shù)與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為：其中，式中。函數(shù)也被稱為“Debye”函數(shù)。此外，F(xiàn)rank Copula函數(shù)的上尾和下尾相關(guān)系數(shù)、均等于0，說(shuō)明變量在Frank Copula函數(shù)分布的尾部都是漸進(jìn)獨(dú)立的。 Copula 模型的估計(jì)和檢驗(yàn) Copula 模型的估計(jì)Copula模型的參數(shù)估計(jì)一般采用極大似然估計(jì)和矩估計(jì)，其中極大似然估計(jì)是最常用的Copula模型的參數(shù)估計(jì)方法。通過(guò)Copula函數(shù)的密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)，可以求出聯(lián)合分布函數(shù)的密度函數(shù)： （）其中，；，為邊緣分布函數(shù)；且；為Copula函數(shù)的維參數(shù)向量；，為邊緣分布函數(shù)，的維參數(shù)量；。由此容易得到樣本，的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：盡管同時(shí)估計(jì)所有的參數(shù)可以得到最優(yōu)估計(jì)，但考慮到同時(shí)估計(jì)的參數(shù)過(guò)多不利于尋優(yōu)，而且Copula函數(shù)的特點(diǎn)使Copula模型非常適于采用多階段估計(jì)法，很多學(xué)者的實(shí)證也都表明采用一步極大似然估計(jì)法和兩階段極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)Copula模型，得到的參數(shù)估計(jì)值差異不顯著，所以一般采用兩階段極大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)Copula模型的參數(shù)。采用兩階段極大似然估計(jì)法可將Copula模型的參數(shù)估計(jì)分解為兩步：第一步：第二步：即首先估計(jì)出邊緣分布函數(shù)的參數(shù)，然后將它們的估計(jì)值，作為已知數(shù)代入Copula函數(shù)中，進(jìn)而估計(jì)得到Copula函數(shù)中的參數(shù)的值。兩階段極大似然估計(jì)使Copula模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。 Copula 模型的檢驗(yàn)以下所述Copula模型的檢驗(yàn)的評(píng)價(jià)主要指邊緣分布模型和Copula函數(shù)的檢驗(yàn)和擬合度評(píng)價(jià)。指定的邊緣分布模型能否很好地?cái)M合變量的實(shí)際分布，對(duì)Copula函數(shù)能否正確地描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)至關(guān)重要，因此要建立邊緣分布的檢驗(yàn)和擬合度評(píng)價(jià)方法。若變量的分布函數(shù)為，連續(xù)，對(duì)變量進(jìn)行概率積分變換得到，即，那么無(wú)論服從什么分布，均服從均勻分布，這為邊緣分布的擬合度檢驗(yàn)提供了理論基礎(chǔ)。Diehoid建立的基于序列概率積分變換的密度分布模型的評(píng)價(jià)方法，適用于Copula模型中邊緣分布模型的檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)，即首先對(duì)原序列做概率積分變換，然后通過(guò)檢驗(yàn)變換后的序列是否服從獨(dú)立同分布（independent identical distribution，.）的均勻分布來(lái)檢驗(yàn)密度函數(shù)模型。若變換后的序列服從獨(dú)立同分布，則表明對(duì)研究變量的動(dòng)態(tài)行為建模是正確的；若變換后的序列還服從均勻分布，則表明對(duì)研究變量邊緣分布的假設(shè)是正確的。一般地，首先檢驗(yàn)概率積分變換后的序列是否獨(dú)立?？蓪?duì)變換后的序列進(jìn)行自相關(guān)檢驗(yàn)，若序列村存在自相關(guān)，即可認(rèn)為序列是相互獨(dú)立的；然后檢驗(yàn)概率積分變換后的序列是否服從均勻分布。KolmogorovSmirnov（KS）檢驗(yàn)是一類常用的非參數(shù)檢驗(yàn)方法，可用于檢驗(yàn)單一樣本是否服從某一特定分布，或者檢驗(yàn)兩個(gè)獨(dú)立的樣本是否服從同一分布。因此，可以運(yùn)用KS檢驗(yàn)方法來(lái)檢驗(yàn)變換后的序列是否服從均勻分布，進(jìn)而判斷對(duì)研究變量邊緣分布的假設(shè)是否正確。另外，“圖”，即“分位數(shù)分位數(shù)”圖也可以比較直觀地表達(dá)變量的實(shí)際分布于指定分布的擬合情況。另外，為了確定選定的Copula函數(shù)是否合適，能否正確低描述變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，還要評(píng)價(jià)Copula函數(shù)的擬合度。令隨機(jī)變量和的分布函數(shù)分別為和，相應(yīng)的Copula函數(shù)為，那么在的條件下，隨機(jī)變量的條件分布為其中服從均勻分布。根據(jù)Copula函數(shù)的這個(gè)性質(zhì)，可以通過(guò)檢驗(yàn)Copula函數(shù)關(guān)于其自變量的一階偏導(dǎo)和即Copula函數(shù)的條件分布和是否均服從均勻分布來(lái)檢驗(yàn)指定Copula函數(shù)是否是恰當(dāng)?shù)模芊褫^好地描述樣本間的相關(guān)結(jié)構(gòu)。條件分布和的檢驗(yàn)問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)一元分布的檢驗(yàn)問(wèn)題，因此，同樣可以運(yùn)用KolmogorovSmirnov（KS）和“圖”，通過(guò)檢驗(yàn)條件分布和是否均服從均勻分布來(lái)評(píng)價(jià)指定Copula函數(shù)對(duì)樣本的擬合