【正文】 進行對比, 。 近似解和精確解的對比圖星線為近似值, 實線為精確值, 左圖為, 右圖為. 時，反問題()的計算結(jié)果 (終止代數(shù)為200).精確解近似解相對誤差(%)()的第一個方程計算, 和, 并與真值進行對比, . 近似解和精確解的對比圖.星線為近似值, 實線為精確值, 左圖為, 中圖為, 右圖為.從算例1可以看出遺傳算法, 為已知時, 對反問題()的反演效果最好。所以, 如果均未知時, 模擬退火算法和遺傳算法相同，對于反問題() ()也不會得到理想結(jié)果。因此, 下面我們針對反問題()反演。算例2: ，已知, 終止代數(shù)取500, 經(jīng)反問題()反演.反演結(jié)果如下：精確解近似解相對誤差(%) 時反問題()的反演結(jié)果.精確解近似解相對誤差(%) 時反問題()的反演結(jié)果.精確解近似解 相對誤差(%) 時反問題()的反演結(jié)果. 結(jié)論通過上述的模擬結(jié)果，我們可以看出運用模擬退火算法與運用遺傳算法來進行反演的模擬結(jié)果相同，即用模擬退火算法對由某個時刻的溫度場多點源的反問題是有效的，而對另外兩個反問題則不夠理想。模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)S(是算法迭代的起點)無關(guān)。模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率l 收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法。第五章 結(jié)論與展望 本文給出的熱傳導(dǎo)方程的多點源反問題模型，是一類應(yīng)用比較廣泛的源項反演模型。 但是，由于這類模型涉及到了Dirac分布。所以不能像一般的源項反問題那樣處理，正由于這個原因，這類反問題一直很少有人進行深入的研究，然而很多應(yīng)用上又迫切需要這方面的較為完善的反問題理論。本文運用偏微分方程反問題的理論和偏微分方程的現(xiàn)代理論，以泛函分析為工具，對這類熱傳導(dǎo)方程多點源反演問題進行了初步研究。該反問題的提法主要有利用表面測量數(shù)據(jù)、內(nèi)部溫度測量數(shù)據(jù)或終值（時間）測量數(shù)據(jù)來反演的點源的個數(shù)、位置及熱源強度。文中研究了由表面熱流密度來反演多點源的理論結(jié)果，利用熱變換方法和雙曲型方程反問題中的結(jié)論獲得該反問題的唯一性和穩(wěn)定性。然后在所得唯一性和穩(wěn)定性的前提下利用遺傳算法和模擬退火算法進行了數(shù)值反演實驗。同時，本文基于由內(nèi)部溫度測量數(shù)據(jù)或終值（時間）測量數(shù)據(jù)反演多點源的已有的唯一性和穩(wěn)定性，利用遺傳算法和模擬退火算法也進行了數(shù)值模擬。實驗結(jié)果表明，用遺傳算法和模擬退火算法都對由某個時刻的溫度場多點源的反問題是有效的，而對另外兩個反問題則不夠理想。通過分析測量數(shù)據(jù)（模擬數(shù)據(jù)）的圖像，給出了產(chǎn)生這種現(xiàn)象的合理解釋。當然還存在不少問題需要繼續(xù)研究和完善，主要有以下幾個問題：尋求改進的遺傳算法和模擬退火算法有效地實現(xiàn)由表面數(shù)據(jù)和內(nèi)部某個點測量數(shù)據(jù)反演多點源，即本文反問題()和()。尋求其它高效的數(shù)值計算方法?？紤]反演的熱傳導(dǎo)方程的源項為，即同時反演多點源的位置和隨時間變換的熱源強度。這些問題都有待進一步的研究。致 謝值此論文完成之際，我衷心的向我的導(dǎo)師徐定華教授、王澤文副教授表示誠摯的謝意！本論文的工作是在導(dǎo)師徐定華教授、王澤文副教授三年的精心指導(dǎo)和親切關(guān)懷下完成的。值此論文完成并即將通過答辯之際，我謹向我的導(dǎo)師徐定華教授、王澤文副教授表示衷心的感謝。他們的嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，創(chuàng)新求實的精神，給了我很大的啟迪，讓我受益匪淺，讓我體會到了在平時應(yīng)該如何認真的進行科學(xué)研究。在研究方向和選題上，王老師給了我極大的自主性，在論文的構(gòu)思和撰寫上，又嚴格要求，一絲不茍。正是這種治學(xué)方式，使我在碩士階段的學(xué)習(xí)任務(wù)得以順利完成，再次向徐老師、王老師表示我衷心的感謝！ 還要感謝數(shù)信學(xué)院的各位領(lǐng)導(dǎo)和老師，是他們的辛勤工作，使我們的科研環(huán)境得到很大改善。感謝我的同學(xué)許小勇以及我在同一個實驗室學(xué)習(xí)的研究生：曾蘇華、丁偉、張小明、左錦輝等同學(xué)們，我們一起同學(xué)習(xí)、同交流、共同討論。最后向我親愛的父母表示崇高的敬意，感謝他們的養(yǎng)育之恩和從小到大一直以來在學(xué)習(xí)和生活上的支持和鼓勵。衷心感謝審稿專家的細心評閱，感謝答辯委員會的諸位老師！參考文獻[1] 黃光遠, 劉小軍. 數(shù)學(xué)物理反問題[M]. 濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1993.[2] 劉繼軍. 不適定問題的正則化方法及其應(yīng)用[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005.[3] 吉洪渃夫等. 不適定問題的解法（王秉忱譯）[M]. 北京：地質(zhì)出版社，1979.[4] 肖庭延, 于慎根, 王彥飛. 反問題的數(shù)值解法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2003.[5] 郭寶琦. 拋物型方程反問題[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2004.[6] 王彥飛. 反問題的計算方法及其應(yīng)用. 北京：高等教育出版社，2007.[7] 蘇超偉. 偏微分方程逆問題的數(shù)值方法及其應(yīng)用[M]. 西安：西安工業(yè)大學(xué)出版社,1995[8] 劉家琦, 匡正, 王德明. 微分方程反問題及其數(shù)值解法[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2003[9] 夏道行, 嚴邵宗等. 實變函數(shù)論與泛函分析[M]. 高等教育出版社，1985.[10] 秦國強. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M]. 四川：成都科技大學(xué)出版社，1996[11] 王元明, 徐君祥編著. 索伯列夫空間講義[M]. 南京：東南大學(xué)出版社，2003[12] Adams R A. Sobolev Space .New York :Academic, 1975.[13] 孫志忠. 偏微分方程數(shù)值解法[M]. 北京: 科學(xué)出版社. 2005.[14] 張石生. 積分方程[M]. 重慶：重慶出版社，1998.[15] 陸文端. 微分方程中的變分方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，2003.[16] 袁亞湘, 孫文翰. 最優(yōu)化理論與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2001. [17] 周明, 孫樹棟. 遺傳算法原理及應(yīng)用[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2002. [18] 張志涌等編著. [M]. 北京: .[19] 張 錚, 楊文平, 石博強等. MATLAB程序設(shè)計與實例應(yīng)用[M]. 北京:中國鐵道出版社, 2003.[20] 康立山, 謝云. 非數(shù)值并行計算—模擬退火算法[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1998.[21] Cannon J R. The Onedimensional Heat Equations. Califorina: AddisonWesley Publishing Company, 1984.[22] Romanov V G. Inverse Problem of Mathematical Physics. Utrecht, The Nertherland: VNU Science Press BV, 1987[23] Cannon J R. Determination of an unknown heat source from over specified boundary data. SIAM J. Numer. Anal. 5(1986):275286.[24] Cannon J. R. and Du Chateau P. Structural identification of an unknown source term in a heat equation. Inverse Problems, 14(1998):535551.[25] Yamamoto M. Conditional stability in determination of force terms of heat equations in a rectangle. Math. Comput. Modelling, 18(1993):7988.[26] Yamamoto M. Conditional stability in determination of densities of heat sources in a bounded domain. International Series of Numerical Mathematics, 18(1994):359370.[27] Choulli M and Yamamoto M. Conditional stability in determining a heat source. Journal of Inverse and IllPosed Problems, 12(2004):233336.[28] Hettlich F and Rundell W. Identification of a discontinous source in the heat equation. Inverse Problems, 17(2001):14651482.[29] 李功勝, 馬逸塵. 半線性熱方程的源項反問題[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報, 2001, 21A (2): 230234.[30] 舒俊輝, 李功勝. 源項反演問題的條件穩(wěn)定性[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2004, 17(1): 150154[31] 李功勝, 譚永基, 王孝勤. 確定地下水污染強度的反問題方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué), 2005, 18(1): 9298[32] 范小平, 李功勝. 確定地下水污染強度的一種改進的遺傳算法[J]. 計算物理2007, 24(2): 187191.[33] 劉進慶, 李功勝, 馬星. 確定地下水污染強度的梯度正則化方法[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報 (自然科學(xué)版), 2007，21 (2): 1720.[34] Badia A EI, HaDuong T and Hamdi A. Identification of a point source in a linear advectiondispersionreaction: application to a pollution source problem. Inverse Problems, 21(2005):11211136.[35] Ling L, Yamamoto M, Hon Y C and Takeuchi T. Identification of source locations in twodimensional heat equations, Inverse Problems, 2006, 22: 12891305.[36] 王澤文, 徐定華. 流域點污染源識別的唯一性[J], 寧夏大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), , , 2006:124129.[37] Zewen Wang and Jijun Liu, Identification of the pollution source from 1dimensional parabolic equation models,Applied Mathematics and Computation, In Press.[38] 閔濤, 周孝德, 張世梅, 馮民權(quán). 對流擴散方程源項識別反問題的遺傳算法[J].水動力學(xué)研究與進展, , , 2004:520524.[39] 韓龍喜. 河道一維污染源控制反問題[J], 水科學(xué)進展, 2001,12(1):3944.[40] 支元洪. 一類拋物型點源反問題的研究(碩士學(xué)位論文)[D] .西南石油學(xué)院,2004.[41] A El Badia and T Haduong. Determination of Point Wave Source by Boundary Measurements. Inverse Problems, 2001,17:11271139[42] 陳亞文. 拋物型方程反問題的遺傳算法(碩士學(xué)位論文)[D]. 西安理工大學(xué)，2003.[43] Komornik V and Yamamoto M. Upper and Lower Estimates in Determination Point Source in a Wave Equation. Inverse Problems, 2002, 18: 319329.[44] Lions J L and Magenes E. Nonhomogeneous Boundary Value Problems and Applications,(English translation),SpringerVerlag,Berlin,1972.[45] Grasselli, M. and Yamamoto, M., Identifying a spatial body force in linear elastodynamics via traction measurements. SIAM Journal on Control and Optimization. 1998, 36(4): 1190 1206.[46] Bruckner G and Yamamoto M. Determination of Point Wave Source by Pointwise Observations: Stability and Problems, 2000,18:723748.[47] Bruckner G and Yamamoto M. On the determination of point sources by boundary observations: uniqueness, stability and reconstruction. Wias, preprint.[48] Yamamoto M. Determination of forces in vibrations of beams and plates by pointwise and lines observations, Journal of Inverse and Illposed Problems 4(1996): 1127[49] Komornik V , Yamamoto M. Estimation of point sources and the applications to inverse problems. Inverse problems, 2005, 21 (6): 2051–2070.[50] 康立山, 謝云. 非數(shù)值并行計算—模擬退火算法[M]. 北京:科學(xué)出版社, 1998.[51] 謝云, 模擬退火算法綜述[J]. 微型計算機信息, 1998,14(5): 2630[52] 巍延，謝開貴. 模擬退火算法[J].蒙自師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，1999,1（4）：711[53] 許小勇. 熱傳導(dǎo)方程穩(wěn)恒源項識別的模擬退火算法[J].海南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)：2006， 24(4):344347 附錄 作者在攻讀碩士學(xué)位期間完成的論文[1] 許小勇, 唐小軍, 王燕. 利用模擬退火算法求大氣壓強公式[J]. 《甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報》（自然科學(xué)版）,2006,344347[2] 王燕. 一類擴散方程參數(shù)算子識別反問題的模擬退火算法[J].《四川理工學(xué)院學(xué)報》（自然科學(xué)版）,2007, ,2326[3] 王澤文, 王燕. 一類熱傳導(dǎo)方程多點源反演的唯一性和穩(wěn)定, 準備投稿中.