【正文】 。而2秒時間的采樣，得到2048個采樣點(diǎn)，F(xiàn)FT變換到頻域后得到2048個采樣點(diǎn)，橫坐標(biāo)的頻率的最大值仍是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，1Hz，2Hz...1024Hz。因?yàn)?，最大帶寬W與采樣時間無關(guān)，總是恒定值，當(dāng)頻譜上頻率點(diǎn)n的次數(shù)增加時，頻率點(diǎn)之間間隔只能縮短。所以：在采樣率確定的情況下：采樣時間越長，頻域的頻率點(diǎn)越多，即頻率分辨率（即：兩個頻率點(diǎn)之間的間隔）越高?；謴?fù)到時域后諧波更多。結(jié)論：頻域頻率分辨率要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，再做FFT變換到頻域。實(shí)際應(yīng)用中，對實(shí)時處理的要求較高，可采用：采樣比較短時間的信號，然后在后面補(bǔ)充一定量的0作為采樣點(diǎn)，使其長度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù)。這也可以提高頻率分辨率。如果想用時分復(fù)用的方式來同時傳送多路信號，在每路信號的抽樣間隔中，可以用來傳送其它信號的抽樣點(diǎn)。傅立葉變換與正交性在第一個傅立葉級數(shù)公式中，通過時域f(t)信號求頻譜Cn（先求an,bn）的過程中利用了三角函數(shù)的正交性。｛cos(nx),sin(nx)｝就像一個智能過濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數(shù)通過（ 可以得到這個頻率的頻域信號 ），將其余的頻率完全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。傅立葉變換的 思想總結(jié)與優(yōu)點(diǎn)傅立葉認(rèn)為：任何周期信號都可用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)來表示。而非周期信號是不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。疊加 是指原始信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位 在時域的累加。解釋：時域上原信號波形，看起來頻率是固定的，但實(shí)際上信號波形只表達(dá)了二維空間，而在 三維空間 中，還有一個軸是頻率軸，所以 在頻率軸上每個點(diǎn)都有一個對應(yīng)的時域諧波信號)。解釋：一般可以這樣看：時域沒有頻率，只有周期與時鐘頻率。頻域沒有周期，只有頻率。傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號分別進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。傅立葉的優(yōu)點(diǎn)是：* 傅里葉變換屬于諧波分析。* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似。* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取。* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段。* 線性性質(zhì)：兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和* 頻移性質(zhì)(見下）* 微分關(guān)系：原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換間的關(guān)系。* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT)).解釋：傅立葉給出的定理大致是,任意一個周期函數(shù)都可以表示為sin與cos的無窮級數(shù)。前者（周期函數(shù)）是時域的表示方法。后者（sin與cos的無窮級數(shù)）是頻域的表示方法。時域，有周期T(時間),就有頻率f = 1/T的概念.數(shù)學(xué)上任何相乘=1的東西都是互相垂直,也叫正交所以時域坐標(biāo)想象成立方體的一個面,那么頻域坐標(biāo)系一定是其相鄰垂直的另一個面.換個說法,任何一個時域里的周期函數(shù)f(t),可以拆分得到一系列sin跟cos的疊加時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系，可以舉例：南郭先生吹竽的故事。齊宣王喜歡聽合奏，南郭先生也可混在里面；齊宣王死了之后，就是齊泯王了，齊泯王要聽獨(dú)奏，南郭先生就跑了（濾波了）。傅里葉變換的目的就是將時間域里面的合奏分解為頻率域里面一個個獨(dú)奏的疊加\\\\，然后你就可以去挑了。類似的例子還很多。如選美，選美小姐全部站在臺上，甚至抱成一團(tuán)，是挑不出美人的。要對她們作傅里葉變換，將她們一個個拉出來溜，才能將真正的美人選（濾波）出來。解釋：傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實(shí)是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實(shí)是按照時間把信號進(jìn)行分割，每一部分只是一個時間點(diǎn)對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。傅里葉變換后，其實(shí)還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號， 那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出一組信號其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點(diǎn)的信號值一樣， 不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點(diǎn)都映射出一個函數(shù)值。傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關(guān)系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點(diǎn)。如減速機(jī)故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。在自然界，頻率是有明確的物理意義的，比如說聲音信號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因?yàn)槟新曋械皖l分量更多；女同胞多高亢清脆，這主要是因?yàn)榕曋懈哳l分量更多。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢？因?yàn)橛械男盘栔饕跁r域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機(jī)械的振動，人類的語音等。若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實(shí)際中，當(dāng)我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗(yàn)信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時域無所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實(shí)際上都是同一個東西。正因?yàn)槿绱?，在通常的信號與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。