含參數導數問題的探究與拓展(含答案)-資料下載頁
2025-06-25 17:02本頁面
【正文】 ，所以g′(x)≤0，g(x)在[1，＋∞)上是減函數， 所以g(x)≤g(1)＝0，即f(x)≤2x2－3恒成立． 當a＞1時， 令h(x)＝－2x2＋ax＋1＝0， 得x1＝＞1，x2＝＜0， 當x∈[1，x1)時，h(x)＞0，即g′(x)＞0，g(x)在[1，x1)上是增函數； 當x∈(x1，＋∞)時，h(x)＜0，即g′(x)＜0，g(x)在(x1，＋∞)上是減函數． 所以0＝g(1)＜g(x1)，即f(x1)＞2x1－3，不滿足題意． 綜上，a的取值范圍為a≤1.5.（2010江蘇卷）設是定義在區(qū)間上的函數，其導函數為。如果存在實數和函數，其中對任意的都有0，使得，則稱函數具有性質。(1)設函數，其中為實數。(i)求證：函數具有性質； (ii)求函數的單調區(qū)間。(2)已知函數具有性質。給定設為實數，，且，若||||，求的取值范圍。[解析] 本小題主要考查函數的概念、性質、圖象及導數等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)∵時，恒成立，∴函數具有性質；(ii)（方法一）設，與的符號相同。當時，，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當時，，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增； 當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數，其中函數對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調遞增。①當時，有，得，同理可得，所以由的單調性知、從而有||||，符合題設。②當時，，于是由及的單調性知，所以||≥||，與題設不符。③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設不符。因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）。
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