【正文】 解 鼠標(biāo)選中復(fù)制上述數(shù)據(jù)方陣，在Matlab命令窗口中輸入yx=[]，將光標(biāo)點(diǎn)到方括號(hào)中間，粘貼，回車執(zhí)行。于是數(shù)據(jù)輸入完畢。，鍵入命令：[NBP,H]=regk(yx,)得到輸出結(jié)果。NBP = 0 0 H = 1上面的輸出結(jié)果說明回歸方程為：回歸方程顯著。依照影響的重要程度，與顯著，不顯著，最不顯著。 逐步回歸分析 ，方程顯著，但存在兩個(gè)不顯著的變量。逐步回歸的想法是，有不顯著的變量，則刪除最不顯著的一個(gè)變量，看看剩余的變量是否顯著，如果有不顯著的繼續(xù)刪除，直到剩余的全部顯著為止。前面已經(jīng)刪除的變量還可繼續(xù)引入，直到所有的變量都顯著，并且再添加任意一個(gè)變量都不顯著，到此結(jié)束。 ，其中yes是輸入變量，也是輸出變量，為k+1階行向量，其中元素為0或者1，第一個(gè)數(shù)yes(1)永為1,表示常數(shù)項(xiàng)不刪除，其余表示各個(gè)自變量是否入選。cut為輸出變量，取值為0表示入選的自變量都顯著，不能刪除，取值1表示刪除一個(gè)變量完畢，用輸出的yes記錄刪除了哪個(gè)變量。僅僅剩余一個(gè)變量時(shí)，返回cut=0,表示就算不顯著也不能刪除了，最后根據(jù)逐步回歸主程序判定是否保留。function [cut,yes]=regcut(yes,yx,alpha)% lenth(yes)=K=k+1, (1,K), yes(1)=1。[n,K]=size(yx)。s=sum(yes)。if s cut=0。else YX=[]。 for i=1:K if yes(i)0 YX=[YX,yx(:,i)]。 end end NBP=regk(YX,alpha)。 [j,t]=size(NBP)。 if NBP(j,3)=alpha cut=0。 else cut=1。 ii=NBP(j,1)。 S=0。 kk=2。 while S() S=S+yes(kk)。 kk=kk+1。 end kk=kk1。 yes(kk)=0。 endend ，輸出變量add記錄了添加變量的個(gè)數(shù)，yes記錄了添加哪些變量。add=0表示無法添加任何變量。，請(qǐng)依次保存。function [add,yes]=regadd(yes,yx,alpha)% lenth(yes)=K=k+1, (1,K), yes(1)=1。[n,K]=size(yx)。s=sum(yes)。YES=yes。add=0。if sK YX=[]。 for i=1:K if yes(i)0 YX=[YX,yx(:,i)]。 end end for j=2:K if yes(i) YES(i)=1。 [cut,YES]=regcut(YES,yx,alpha)。 if cut add=add+1。 yes(i)=1。 else YES(i)=0。 end end endend 有了前兩個(gè)基礎(chǔ)，下面給出逐步回歸的函數(shù)，調(diào)用比較簡單，返回的NBP有三列，分別記錄了自變量原始標(biāo)號(hào)，回歸系數(shù)，顯著性概率值p，并依照p由小到大逐行排列，反映了個(gè)自變量的重要程度依次排序。function [yes,NBP]=regstep(yx,alpha)[n,K]=size(yx)。k=K1。yes=ones(1,K)。cut=1。add=0。while (cut+add) [cut,yes]=regcut(yes,yx,alpha)。 if cut [add,yes]=regadd(yes,yx,alpha)。 endendYX=[]。for i=1:K。 if yes(i) YX=[YX,yx(:,i)]。 endendNBP=regk(YX,alpha)。[s,t]=size(NBP)。for i=2:s SS=0。 k=2。 while SSNBP(i,1)。 SS=SS+yes(k)。 k=k+1。 end NBP(i,1)=k2。end第5章 方差分析 單因素方差分析 方差分析的基本概念在實(shí)際問題中，人們常常需要在不同的條件下對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，從而得到若干組數(shù)據(jù)（樣本）。方差分析就是一種分析、處理多組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間均值差異的顯著性的統(tǒng)計(jì)方法。其主要任務(wù)是，通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理，搞清楚各實(shí)驗(yàn)條件對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，以便更有效地指導(dǎo)實(shí)踐，提高經(jīng)濟(jì)效益或者科研水平。在統(tǒng)計(jì)中，人們稱受控制的條件為因素，因素所處的狀態(tài)稱為水平。如果只讓一個(gè)因素變動(dòng)，取該因素的多個(gè)不同水平進(jìn)行試驗(yàn)，而其他因素保持不變，稱該試驗(yàn)為單因素試驗(yàn)。例如小麥種植產(chǎn)量，只考慮“品種”這一因素，研究4個(gè)不同品種產(chǎn)量的差異，其它諸如施肥方案、灌溉方案等因素保持一致，就是一個(gè)4水平單因素試驗(yàn)。如果同時(shí)考慮兩個(gè)因素，例如4個(gè)小麥品種在3種不同施肥方案下的產(chǎn)量，就是一個(gè)雙因素試驗(yàn)。對(duì)于組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，我們假定都來自正態(tài)總體，并且具有相同的方差（稱為方差齊性），要檢驗(yàn)這相互獨(dú)立的個(gè)正態(tài)總體 均值間有無差異，即：H0：； H1：諸不全相同前面我們講過兩正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)，有T檢驗(yàn)的方法。自然有一個(gè)想法，對(duì)于，分別檢驗(yàn)是否成立，若所有搭配均不拒絕，則接受H0，只要有一種搭配拒絕原假設(shè)認(rèn)為，那就拒絕H0，看起來也不算麻煩。不妨稱上述想法為“兩兩T檢驗(yàn)法”?；貞浨懊鎯?nèi)容，設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本獨(dú)立。為比較兩個(gè)總體的期望，提出如下原假設(shè)：H0：當(dāng)H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，解決上述計(jì)算問題。function T=t2test(x,y)m=length(x)。n=length(y)。vx=var(x)。vy=var(y)。a=(mean(x)mean(y))。b=m+n2。c=(m1)*vx+(n1)*vy。d=sqrt(m*n/(m+n))。T=a*d*sqrt(b/c)。以下給出m=10,n=10,且兩總體皆服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的情形下，萬次模擬的拒絕頻率。N=10000。m=10。 n=10。alpha=。t0=tinv(1alpha/2,m+n2)。P=0。for k=1:N x=randn(1,10)。 y=randn(1,10)。 T=t2test(x,y)。 if abs(T)t0 P=P+1。 endendP=P/N執(zhí)行上述程序，說明上述兩個(gè)正態(tài)總體均值的T檢驗(yàn)的確是水平為的檢驗(yàn)。 我們?cè)O(shè)想有8組數(shù)據(jù)，客觀上都是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，沒有差異，每組樣本容量都是10?，F(xiàn)在用前述“兩兩T檢驗(yàn)法”進(jìn)行檢驗(yàn)，下述程序計(jì)算出了萬次模擬中拒絕的頻率。N=10000。n=10。 r=8。alpha=。t0=tinv(1alpha/2,n+n2)。P=0。for k=1:N x=randn(8,10)。 E=mean(x,2)。 [EE,I]=sort(E)。 X=x(I,:)。 T=t2test(X(1,:),X(8,:))。 if abs(T)t0 P=P+1。 end endP=P/N。上述程序模擬發(fā)現(xiàn)，，說明依照“兩兩T檢驗(yàn)”犯第一類錯(cuò)誤的概率嚴(yán)重增大，判定結(jié)果很不可靠。 對(duì)于8組數(shù)據(jù)，兩兩比較共種組合，則28種組合都接受原假設(shè)的概率大致估計(jì)為。由于相關(guān)性。為了避免上述問題的出現(xiàn)，1923年，(Analysis of Variance簡稱ANOVA) 法，可以同時(shí)判定多組數(shù)據(jù)均值間差異的顯著性檢驗(yàn)問題。其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在H0成立時(shí)服從F分布，這里F分布就是以Fisher姓氏的第一個(gè)字母命名的。 單因素方差分析的計(jì)算設(shè)有組數(shù)據(jù)，表示因素A的個(gè)水平，每組有個(gè)觀測值。我們已知實(shí)際結(jié)果具有以下結(jié)構(gòu)： (。 )表示水平Ai下的理論均值，為實(shí)驗(yàn)誤差，諸相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布。為了看出因素A個(gè)水平影響的大小，將進(jìn)行分解，令， 表示水平Ai對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響，稱為Ai的水平效應(yīng)。顯然這時(shí)數(shù)據(jù)有如下結(jié)構(gòu)： (。 ) (51)于是，我們需要進(jìn)行的假設(shè)檢驗(yàn)為：H0：； H1：諸不全為零 (52)記，() ， (53)稱為總離差平方和，它反映了樣本觀測值之間的總的變異程度。以下我們將分解為兩部分，以便區(qū)別水平效應(yīng)與隨機(jī)誤差的影響。其中記， (54)稱為組內(nèi)平方和，它反映了每組的組內(nèi)隨機(jī)誤差。稱為組間平方和，反應(yīng)的是組與組之間的差異。上述推導(dǎo)說明，總離差平方可以分解為 (55)一個(gè)自然的想法是：如果在總離差平方和中，所占比例很大，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為客觀上存在水平效應(yīng)。 容易計(jì)算 ； (56)因此，當(dāng)H0成立時(shí)，有， (57) (58)對(duì)于自由度，求臨界值，當(dāng)時(shí)拒絕H0即可。表51 單因素方差分析表方差來源平方和自由度均方F值臨界值顯著性組間SA誤差SE總和ST實(shí)際計(jì)算時(shí)常采用方差分析表，如表51所示。當(dāng)時(shí)，稱為不顯著，即認(rèn)為各組均值之間沒有顯著差異，在顯著性一欄不做任何標(biāo)記。當(dāng)時(shí)，稱為較顯著，即認(rèn)為各組均值之間有較顯著差異，在顯著性一欄用(*)標(biāo)記。當(dāng)時(shí)，稱為顯著，即認(rèn)為各組均值之間有顯著差異，在顯著性一欄用*標(biāo)記。當(dāng)時(shí)，稱為極顯著，即認(rèn)為各組均值之間有極顯著差異，在顯著性一欄用**標(biāo)記。上述傳統(tǒng)的方差計(jì)算表，在計(jì)算機(jī)普及后稍有變動(dòng)，表中最后兩列可以變動(dòng)為直接計(jì)算H0成立時(shí)F分布大于此F值的概率，是否顯著一看自明。 為了研究三種不同傷寒桿菌對(duì)于小白鼠存活天數(shù)的影響，分三組實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：A1: 2, 4, 3, 2, 4, 7, 7, 2, 5, 4A2: 5, 6, 8, 5, 10,7, 12,6, 6A3: 7, 11,6, 6, 7, 9, 5, 10,6, 3,10試檢驗(yàn)不同傷寒桿菌對(duì)于小白鼠存活天數(shù)有無顯著影響？解 原假設(shè)H0沒有顯著差異。以下利用Matlab計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果匯總到表52中。x1=[2, 4, 3, 2, 4, 7, 7, 2, 5, 4]。x2=[5, 6, 8, 5, 10,7, 12,6, 6]。x3=[7, 11,6, 6, 7, 9, 5, 10,6, 3,10]。n1=length(x1)。n2=length(x2)。n3=length(x3)。X1=sum(x1), mx1=mean(x1),X2=sum(x2), mx2=mean(x2),X3=sum(x3), mx3=mean(x3),n=n1+n2+n3, X=X1+X2+X3, mx=X/n,SE=(x1mx1)*(x1mx1)39。+(x2mx2)*(x2mx2)39。+(x3mx3)*(x3mx3)39。,SA=n1*(mx1mx)^2+n2*(mx2mx)^2+n3*(mx3mx)^2,F=(SA/2)/(SE/27),finv(,2,27),finv(,2,27), finv(,2,27),p=1fcdf(F,2,27),表52 不同傷寒桿菌對(duì)小白鼠存活天數(shù)影響的方差分析表方差來源平方和自由度均方F值臨界值顯著性組間2**誤差27總和29可以認(rèn)為不同傷寒桿菌對(duì)小白鼠存活天數(shù)有極顯著影響。上述最后一行命令執(zhí)行的結(jié)果為p=，實(shí)際判定時(shí)，此值更能說明顯著性程度。當(dāng)各組樣本容量相等時(shí)，Matlab自帶了單因素方差分析函數(shù)anova1，并且自動(dòng)返回類似的方差分析表,調(diào)用格式為anova1(x),這里x為矩陣，按列分組，第一列為第一組數(shù)據(jù)，要求每組數(shù)據(jù)相同。 某班學(xué)生共分別住在四個(gè)宿舍，某次英語水平考試成績?nèi)缦拢罕?3 各宿舍學(xué)生英語成績表宿舍一86