【正文】 伸線上某一點(diǎn)（ B3）的法線（N 3B3）是曲線對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的切線。（b）漸伸線上各點(diǎn)的曲率是不相同的；漸伸線上的任意兩點(diǎn)的曲率半徑之差等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的原曲線弧長(zhǎng)的增量。（c）漸伸線上在短距離范圍內(nèi)的曲率可以認(rèn)為相等，故可按圓弧考慮。漸伸線長(zhǎng)度、轉(zhuǎn)向角和曲率及其相互間的關(guān)系（1）根據(jù)漸伸線的定義和特性，可導(dǎo)出下式 B 點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度計(jì)算公式為： (43)??BLdlE0?式中 LB——A、B 兩點(diǎn)間的弧長(zhǎng)(m)；——曲線上任意一點(diǎn)處的曲率半徑與 A 點(diǎn)曲率半徑的夾角 (rad)；?l——曲線上任意一點(diǎn)與 A 點(diǎn)間的弧長(zhǎng)(m)。（2）曲線轉(zhuǎn)向角 ?若 R 為 OM 曲線計(jì)算點(diǎn)的半徑，K 為該曲線計(jì)算點(diǎn)的曲率，則可得：北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 37 頁(yè) (44)IR??? (45)??llmKd00 (46)/II上式表明：OM 曲線的轉(zhuǎn)向角 （rad）為計(jì)算曲線 K 在其對(duì)應(yīng)弧段上的定積分。?（3）曲線曲率 K平面曲線上任意一點(diǎn)的曲率表示其方向變換的旋轉(zhuǎn)程度，在數(shù)學(xué)上曲率 K 通常用曲線函數(shù) 的二階導(dǎo)函數(shù)表示，即 。()yfx?()fx??（4）K、 、E 間的微積分關(guān)系?任何曲線的 K、α 、E 之間的微積分關(guān)系如表 41 所示。表 41 K、α、E 間的微積分關(guān)系微 分 關(guān) 系 積 分 關(guān) 系)(lfE? )(lfK?dlK?2 ?ld0?lE? ?llKE00據(jù)此，可推導(dǎo)出圓曲線和緩和曲線的 K、 、E 的計(jì)算公式如下：?（a）圓曲線　　　　 (47)Ry1? (48)ly?北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 38 頁(yè) (49)RlEy2?式中 ——為計(jì)算點(diǎn)的圓曲線長(zhǎng)。yl（b）緩和曲線　　　 (410)0RlCKH? (411)02l? (412)HHlClE316?式中 ——為計(jì)算點(diǎn)的緩和曲線長(zhǎng)。HL（5）K、 、E 之間的圖乘關(guān)系?由上所述的微分關(guān)系不難得到各類曲線的 K、 、E 之間的圖乘關(guān)系。?所謂圖乘關(guān)系是指用直角坐標(biāo)表示的 ， 和 函數(shù)關(guān)系的坐標(biāo)1()fL?2()f3()fL?圖，即分別為 Ｋ 圖、 圖和 Ｅ 圖之間的內(nèi)在關(guān)系，下圖為內(nèi)切圓曲線的圖乘關(guān)系。鐵道工?程中，采用的是兩端加設(shè)緩和曲線的圓曲線，其圖乘關(guān)系如圖 44 所示。(a) 平面圖北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 39 頁(yè)(b) 曲率圖(c) 角圖(d) 漸伸線圖圖 44 內(nèi)切圓曲線的圖乘關(guān)系漸伸線長(zhǎng)度計(jì)算公式綜上所述，漸伸線長(zhǎng)度實(shí)用計(jì)算公式如表 42 所示。表 42 漸伸線長(zhǎng)度計(jì)算公式測(cè)點(diǎn)范圍 計(jì)算公式 符號(hào)意義ZH—HY306lER?l＝測(cè)點(diǎn)里程－ZH 點(diǎn)里程HY—YH2LP?Ｌ ＝測(cè)點(diǎn)里程－ ZY 點(diǎn)里程YH—HZ2306lER??Ｌ ＝測(cè)點(diǎn)里程－ZY 點(diǎn)里程l =測(cè)點(diǎn)里程－ YH 點(diǎn)里程北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 40 頁(yè)HZ 以后 EX???X＝測(cè)點(diǎn)里程－QZ 點(diǎn)里程其中：R——曲線半徑(m)；l0——緩和曲線長(zhǎng)；α——轉(zhuǎn)角； 既有曲線漸伸線長(zhǎng)度的計(jì)算 [8]基本公式既 有 曲 線 已 錯(cuò) 動(dòng) ， 但 基 本 線 形 仍 保 持 原 來 的 形 狀 ， 可 分 別 按 緩 和 曲 線 和 圓 曲 線 的 性 質(zhì) 來進(jìn) 行 計(jì) 算 ， 由 表 42 可 得 ：（１）圓曲線的漸伸線長(zhǎng)度 (413)YYYY llRE????212式中 ——測(cè)點(diǎn)的偏角；Y?　 l Y——計(jì)算點(diǎn)的圓曲線長(zhǎng)；　 ——為轉(zhuǎn)向角；?　 R— —圓曲線的半徑。（2）緩和曲線的漸伸線長(zhǎng)度 (414)HHHlllRE????212式中　 ——測(cè)點(diǎn)偏角；H?　 l H——計(jì)算點(diǎn)的緩和曲線長(zhǎng)；——緩和曲線全長(zhǎng)。0（3）測(cè)點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度由上兩式可知，既有曲線無論是圓曲線或是緩和曲線，每個(gè)測(cè)點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度 Ｅ ij 均可北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 41 頁(yè)表示為：　 　　　　　　　　 (415)jiijlE??式中 ——該測(cè)點(diǎn)的偏角(rad)；i?　 ——該測(cè)點(diǎn)到置鏡點(diǎn)的曲線長(zhǎng)(m)。jl置鏡點(diǎn)漸伸線長(zhǎng)度計(jì)算（1）置鏡點(diǎn)在始切線 O 點(diǎn)上（見圖 45）B圖 45 置鏡點(diǎn)在始切線 O 點(diǎn)在曲線的起始線段內(nèi)，K 較小，故弧長(zhǎng) OA 近似等于弧長(zhǎng) LA，漸伸線長(zhǎng)度 EA 也近似等于相應(yīng)的弧長(zhǎng)，因而可得： (415)AAAlE????（2）置鏡點(diǎn)在曲線的 A 點(diǎn)上（如圖 46） B39。Eβ0lα ABnγ α圖 46 置鏡點(diǎn)在曲線的 A 點(diǎn)上北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 42 頁(yè)測(cè)出 B 點(diǎn)偏角 ，則 B 點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度 EB 可按下式計(jì)算。? ????39。0ABlLlBAdldl?? (416)BAAlE?????)( 式中 ——置鏡點(diǎn) A 的漸伸線長(zhǎng)度；AE ——置鏡點(diǎn) A 到置鏡點(diǎn) B 的曲線長(zhǎng)；Bl——弦線 AB 與始切線的夾角(rad)。?（3）置鏡點(diǎn)在曲線的 B 點(diǎn)上（如圖 47） α bC C ElA OaB Cnlγ cβψβ圖 47 置鏡點(diǎn)在曲線的 B 點(diǎn)上同理可得： (417)cBcEl???A式中 EB——置鏡點(diǎn) B 的漸伸線長(zhǎng)度；lc——置鏡點(diǎn) B 到置鏡點(diǎn) C 的曲線長(zhǎng)；——弦線 BC 與始切線的夾角(rad) 。?通用公式北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 43 頁(yè)根據(jù)上述的推導(dǎo)，可歸納出 n 個(gè)置鏡點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度計(jì)算的通用公式如下： (418)12nEll?????式中 li ——置鏡點(diǎn) i 至前一段置鏡點(diǎn)的曲線長(zhǎng)； βi——置鏡點(diǎn) i 到前一段置鏡點(diǎn)間弦線與始切線間的夾角(rad)。第 n 測(cè)段中的每個(gè)測(cè)點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度 Enj 的通用公式為： (419)njjl???式中 lj——第 n 測(cè)段中置鏡點(diǎn) n 到測(cè)點(diǎn) j 的曲線長(zhǎng)；βj ——測(cè)點(diǎn) j 到置鏡點(diǎn) n 間的弦線與始切線的夾角(rad)。 設(shè)計(jì)曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)度的選配方法 [8]選配的基本原則在選配設(shè)計(jì)曲線半徑和緩和曲線長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)該遵循以下的原則：（1）曲線撥動(dòng)前后其長(zhǎng)度應(yīng)基本不變。（2）保證曲線撥動(dòng)前后的終切線方向不變。（3）保證曲線撥動(dòng)前后的終切線位置不變。（4）力求曲線路段大修工程量小。選配曲線半徑的方法選配半徑的方法較多，一般常用的方法有：平均偏角法、三點(diǎn)法和多點(diǎn)法。（1）平均偏角法外業(yè)測(cè)量時(shí)，在圓曲線范圍內(nèi)一置鏡點(diǎn) A 上，測(cè)出了圓曲線內(nèi)各測(cè)點(diǎn)3……、n 點(diǎn)的偏角 、 、 ……、 ，如圖 48 所示兩測(cè)點(diǎn)間的弦長(zhǎng)為 L=20 1?23n??m，則兩測(cè)點(diǎn)間的平均偏角為：北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 44 頁(yè)= (420)??1?n式中 ——短弦 L 所對(duì)應(yīng)的圓周角，應(yīng)等于 L 短弦所對(duì)圓心角的一半，則既有曲線的??半徑 RJ 為： (421)/210(m)siniJR????1 ORJ3Δ αΔ α Δ αΔ LYHΔ 4ΔΔ αΔ Δ =2ΔΔ αHYAΔ Δ ????2/1)(a ???sin/10)(JRb圖 48 平均偏角法（2）三點(diǎn)法在既有曲線的圓曲線范圍內(nèi)，連續(xù)選取三個(gè)間距相等（L）的測(cè)點(diǎn) A、B、C，三點(diǎn)的漸伸線長(zhǎng)度分別為 、 、 ，則通過此三點(diǎn)的既有曲線半徑為：AEBC (422)CBAJELR???2（3）多點(diǎn)法三個(gè)點(diǎn)不能體現(xiàn)整個(gè)曲線的全貌，當(dāng)圓曲線較長(zhǎng)、測(cè)點(diǎn)較多的時(shí)候，可以用下列公式計(jì)算既有曲線的半徑：北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 45 頁(yè) (423)???nJElR12)(式中 ——測(cè)點(diǎn)間的長(zhǎng)度，一般取為 20 米；l?——測(cè)點(diǎn)既有漸伸線的二次差值；E2n——二次差值的個(gè)數(shù)。選配設(shè)計(jì)緩和曲線的長(zhǎng)度線路大修平面設(shè)計(jì)緩和曲線長(zhǎng)度的選擇，應(yīng)滿足《鐵路工務(wù)規(guī)則》的規(guī)定。一般情況下，緩和曲線的長(zhǎng)度不小于 9 倍的超高和速度的乘積，特別困難地段也不小于 7 倍的超高和速度的乘積。在滿足技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的條件下，應(yīng)盡量采用原有緩和曲線的長(zhǎng)度，可使撥量最小。在已經(jīng)選定設(shè)計(jì)曲線半徑 RS 的條件下，為了減小撥動(dòng)量，可采用下述方法選取緩和曲線的長(zhǎng)度。（1）計(jì)算設(shè)計(jì)曲線的圓曲線長(zhǎng) ，并根據(jù) QZ 點(diǎn)的里程，計(jì)算 ZY 點(diǎn)里程=QZ 里程s?－ /2。sR?（2）選出兩三個(gè)位于圓曲線段的測(cè)點(diǎn)，它們的設(shè)計(jì)曲線漸伸線長(zhǎng)度為 ，sSPRLE??2其中 L=測(cè)點(diǎn)里程－ZY 點(diǎn)的里程，為已知數(shù)， = ，因 待定， 尚需推導(dǎo)。SPsRl2400lP（3）這兩三個(gè)測(cè)點(diǎn)的既有曲線漸伸線長(zhǎng)度已經(jīng)求出，可令各個(gè)測(cè)點(diǎn)的 ，求出JS?如下：SP (424)sSRLEP2??（4）將求出的兩三個(gè) 取平均值，故緩和曲線的長(zhǎng)度為：S (425)120S(4)l?北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 46 頁(yè)將計(jì)算結(jié)果取為 10 米的整數(shù)倍，就是選定的緩和曲線長(zhǎng)度。 計(jì)算設(shè)計(jì)曲線中點(diǎn)及各主要點(diǎn)的里程 [8]已選定的設(shè)計(jì)曲線半徑，可保證設(shè)計(jì)曲線圓弧和既有曲線圓弧相當(dāng)接近，但尚未確定設(shè)計(jì)曲線的具體位置，為此要計(jì)算曲線中點(diǎn)和各主要點(diǎn)的里程。計(jì)算曲線中點(diǎn)（QZ）里程QZ 點(diǎn)的里程應(yīng)保證終切線不撥動(dòng)，也就是撥動(dòng)前后曲線的轉(zhuǎn)角不變，即 ，Js??測(cè)量終點(diǎn)的撥距為零，即 。JSE?如圖 49 所示，終點(diǎn)設(shè)計(jì)曲線的漸伸線的長(zhǎng)度 。令測(cè)點(diǎn)終點(diǎn)既有曲線的漸伸???XES線長(zhǎng)度 ，則測(cè)量終點(diǎn)至 QZ 點(diǎn)的距離 X 為：???XEJS (426)?J?式中 ——曲線轉(zhuǎn)角(rad)。?這樣，可得 QZ 點(diǎn)的里程為： QZ 里程= 測(cè)量終點(diǎn)里程－X QZρ /2αloHYRXRα 測(cè)量終點(diǎn) Es=Jloα /Hx圖 49 QZ 點(diǎn)里程北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文 ) 第 47 頁(yè)計(jì)算曲線各主點(diǎn)里程曲線各主點(diǎn) ZY、ZH 、HY、YZ、YH 、HZ 里程的計(jì)算如下：ZY 里程=QZ 里程－ ZH 里程=ZY 里程－2?SR20lHY 里程=ZH 里程+ YZ 里程=QZ 里程+0l ?SRYH 里程=YZ 里程－ HZ 里程=YH 里程+2 0l 設(shè)計(jì)曲線漸伸線長(zhǎng)度的計(jì)算設(shè)計(jì)曲線漸伸線長(zhǎng)度的計(jì)算可按表 43 計(jì)算。 計(jì)算撥距 根據(jù)漸伸線的定義和特性，曲線撥動(dòng)時(shí)作了如下的假設(shè)：（1）曲線撥動(dòng)時(shí)都是沿漸伸線移動(dòng)的；（2）曲線撥動(dòng)前后的長(zhǎng)度不變；基于以上的假定，撥距計(jì)算式為：