【正文】 故拒絕原假設(shè)。即新工藝對(duì)電阻有顯著差異。，對(duì)同樣的試樣進(jìn)行分析，各人實(shí)驗(yàn)分析的結(jié)果如下：實(shí)驗(yàn)號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 8 乙 試問(wèn)甲乙兩人的實(shí)驗(yàn)分析之間有無(wú)顯著差異？解 此問(wèn)題可以歸結(jié)為判斷是否服從正態(tài)分布，其中未知，即要檢驗(yàn)假設(shè)。由t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量 取=，又由于，故接受 某紡織廠(chǎng)在正常工作條件下，，該廠(chǎng)作輕漿試驗(yàn)，將輕紗上漿率減低20%，在200臺(tái)布機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，，問(wèn)新的上漿率能否推廣？。解 設(shè)減低上漿率后的每臺(tái)布機(jī)斷頭率為隨機(jī)變量，問(wèn)新上漿率能否推廣就要分析每臺(tái)布機(jī)的平均斷頭率是否增大，即要檢驗(yàn)由于未知，且n較大，用t檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為 查表知，故拒絕原假設(shè)，不能推廣。，所得產(chǎn)量分別為，假設(shè)作物產(chǎn)量服從正態(tài)分布，并計(jì)算得，，問(wèn)是否可認(rèn)為兩個(gè)品種的產(chǎn)量沒(méi)有顯著性差別？解 甲作物產(chǎn)量，乙作物產(chǎn)量，即要檢驗(yàn) 由于，未知，要用兩子樣t檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)假設(shè)，由F檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量為（）故接受假設(shè)，于是對(duì)于要檢驗(yàn)的假設(shè)取統(tǒng)計(jì)量又時(shí)，所以接受原假設(shè)，即兩品種的產(chǎn)量沒(méi)有顯著性差別。、乙兩臺(tái)機(jī)床，加工同樣產(chǎn)品，從這兩臺(tái)機(jī)床加工的產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取若干產(chǎn)品，測(cè)得產(chǎn)品直徑為（單位：mm）： 甲 ， ， ， ， ， 。 ， 乙 ， ， ， ， ， ， 。試比較甲乙兩臺(tái)機(jī)床加工的精度有無(wú)顯著差異？顯著性水平為。解：假定甲產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀(guān)察值計(jì)算得。乙產(chǎn)品直徑服從，由子樣觀(guān)察值計(jì)算得。要比較兩臺(tái)機(jī)床加工的精度，既要檢驗(yàn) 由 F檢驗(yàn) 時(shí)查表得：， 由于，所以接受，即不能認(rèn)為兩臺(tái)機(jī)床的加工精度有顯著差異。 隨機(jī)從一批釘子中抽取16枚，測(cè)得其長(zhǎng)度為（cm） 設(shè)釘長(zhǎng)服從正態(tài)分布，分別對(duì)下面兩個(gè)情況求出總體均值的90%的置信區(qū)間（1）；（2）未知解 （1）由子樣函數(shù)，可求的置信區(qū)間置信下限 置信上限 （2）在未知時(shí)，由子樣函數(shù)，可求得置信區(qū)間為置信下限 置信上限 包糖機(jī)某日開(kāi)工包糖，抽取12包糖，稱(chēng)得重量為 假定重量服從正態(tài)分布，試由此數(shù)據(jù)對(duì)該機(jī)器所包糖的平均重量 求置信水平為95%的區(qū)間估計(jì)。解 由于未知，用統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算各數(shù)據(jù)值后可以得到均值的置信區(qū)間，置信上限為，下限為 隨機(jī)取9發(fā)炮彈做實(shí)驗(yàn)，得炮口速度的方差的無(wú)偏估計(jì)（米/秒）2，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，分別求出炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的置信水平為90%的置信區(qū)間。解 選取統(tǒng)計(jì)量， 可得的置信區(qū)間為：因?yàn)? 故，標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間取方差的根方即可。 假設(shè)六個(gè)整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機(jī)地選擇，重復(fù)60次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。問(wèn)在5%的顯著性水平下是否可以認(rèn)為下列假設(shè)成立：。解：用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，如果成立 列表計(jì)算的觀(guān)察值：組數(shù)i頻數(shù)123456131911854101010101010391256， = 由于，所以拒絕。即等概率的假設(shè)不成立。 對(duì)某型號(hào)電纜進(jìn)行耐壓測(cè)試實(shí)驗(yàn)，記錄43根電纜的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測(cè)試電壓 擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對(duì)電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗(yàn)（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗(yàn)）。解：用正態(tài)概率紙檢驗(yàn)出數(shù)據(jù)基本上服從正態(tài)分布，下面擬合優(yōu)度檢驗(yàn)假設(shè) 其中為和的極大似然估計(jì)，其觀(guān)察值 所以要檢驗(yàn)的假設(shè) 分組列表計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀(guān)察值。組 距 頻數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間 5781265 用查表由于，所以不能否定正態(tài)分布的假設(shè)。 用手槍對(duì)100個(gè)靶各打10發(fā)，只記錄命中或不命中，射擊結(jié)果列表如下 命中數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 頻 數(shù)： 0 2 4 10 22 26 18 12 4 2 0在顯著水平下用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法檢驗(yàn)射擊結(jié)果所服從的分布。解 對(duì)每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點(diǎn)分布描述，而對(duì)一個(gè)靶打十發(fā)，其射擊結(jié)果可用二項(xiàng)分布來(lái)描述，其中未知，可求其極大似然估計(jì)為 設(shè)是十發(fā)射擊中射中靶的個(gè)數(shù)，建立假設(shè) 用擬合優(yōu)度檢驗(yàn)法列表如下：0123456789100241022261812420 取，=由于，所以接受。 在某細(xì)紗機(jī)上進(jìn)行斷頭率測(cè)定，試驗(yàn)錠子總數(shù)為440，測(cè)得斷頭總次數(shù)為292次只錠子的斷頭次數(shù)紀(jì)律于下表。問(wèn)每只錠子的紡紗條件是否相同？ 每錠斷頭數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 9錠數(shù)（實(shí)測(cè)） 263 112 38 19 3 1 1 0 3 解：如果各個(gè)錠子的紡紗條件元差異，則所有錠子斷頭次數(shù)服從同一個(gè)普哇松分布，所以問(wèn)題是要檢驗(yàn)每只錠子的斷頭數(shù)。其中未知，求其極大似然估計(jì)為，建立假設(shè)，由擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。列表斷頭數(shù)1234501234826811238198取，=，取，=由于，所以拒絕。即認(rèn)為每只錠子紡紗條件不相同。第八章 方差分析和回歸分析 考察溫度對(duì)某一化工產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同的溫度，在同一溫度下做了三次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得其得率如下，試分析溫度對(duì)得率有無(wú)顯著影響。溫度6065707580得率909288919392969693848383848982解 把原始數(shù)據(jù)均減去90后可列出如下計(jì)算表和方差分析表，表示因子水平數(shù)，為重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)。溫度606570758005213266367264806151518 計(jì)算表；方差分析表來(lái)源平方和自由度均方和F比溫度e38410總和17由于，所以在上水平上認(rèn)為溫度對(duì)得率有顯著影響。 下面記錄了三位操作工分別在四臺(tái)不同機(jī)器上操作三天的日 產(chǎn)量：機(jī) 器操 作 工甲乙丙151715181517172017171622171518151915171616151617161918171822181721221817試在顯著性水平下檢驗(yàn)：（1） 操作工之間有無(wú)顯著性差異？（2）機(jī)器之間的差異是否顯著？（3）操作工與機(jī)器的交互作用是否顯著？ 解 用表示機(jī)器的水平數(shù)，表示操作工的水平數(shù)，表示重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)，列出計(jì)算表和方差分析表： 甲乙丙475148605445514855635451156159153159206198223627， ， ， ，方差分析表來(lái)源平方和自由度均方和F比機(jī)器操作工交互作用326241總和35由于，所以在水平上，操作工有顯著差異，機(jī)器之間無(wú)顯著差異，交互作用有顯著差異。？通過(guò)原點(diǎn)的二元線(xiàn)性回歸模型是怎樣的？分別寫(xiě)出結(jié)構(gòu)矩陣，正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)矩陣，并寫(xiě)出回歸系數(shù)的最小二乘法估計(jì)公式。解 通過(guò)原點(diǎn)的一元線(xiàn)性回歸模型： ，的最小二乘估計(jì)為 通過(guò)原點(diǎn)的二元線(xiàn)性回歸模型： ，的最小二乘估計(jì)為： 對(duì)不同的元麥堆測(cè)得如下數(shù)據(jù)：堆 號(hào)123456重量跨度2813270511103259021315181試求重量對(duì)跨度的回歸方程，并求出根方差的估計(jì)值。解 設(shè)所求回歸方程為，由數(shù)據(jù)可以求出： 由最小二乘法估計(jì)公式可知 故可得回歸方程：的估計(jì)是 則的估計(jì)為655 設(shè) 相互獨(dú)立同服從于。（1） 寫(xiě)出矩陣（2）求的最小二乘估計(jì)（3）證明當(dāng)時(shí)，的最小二乘估計(jì)不變 解 （1） （2），則，的最小二乘估計(jì)是（3）若，此時(shí)模型成為： ，則對(duì)應(yīng)的，，的最小二乘估計(jì)是 若與有下述關(guān)系： 其中從中獲得了n組獨(dú)立觀(guān)測(cè)值，能否求出的最小二乘估計(jì)，試寫(xiě)出最小二乘估計(jì)的公式，能否檢驗(yàn)假設(shè) 試寫(xiě)出檢驗(yàn)的拒絕域。解 若記 則的最小二乘估計(jì)為下述方程組的解： （*）的最小二乘估計(jì)為： 若把方程組（*）的系數(shù)矩陣記為，則，又記，則在顯著性水平上檢驗(yàn)的拒絕域是： 其中， 某醫(yī)院用光色比色計(jì)檢驗(yàn)?zāi)蜇晻r(shí)，得尿貢含量與肖光系數(shù)讀數(shù)的結(jié)果如下：尿貢含量246810肖光系數(shù)64138205285360已知它們之間有下述關(guān)系式： 各相互獨(dú)立，均服從分布，試求的最小二乘估計(jì)，并給出檢驗(yàn)假 的拒絕域。解 由數(shù)據(jù)可以求得，n=5 ， 則，最小二乘估計(jì)為： 檢驗(yàn)假設(shè)可用統(tǒng)計(jì)量 因此，拒絕原假設(shè)。 研究同一地區(qū)土壤中所含植物可給態(tài)磷的情況，得到18組數(shù)據(jù)如下，其中，——土壤內(nèi)所含無(wú)機(jī)磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機(jī)磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有機(jī)磷濃度——載在土壤內(nèi)的玉米中可給態(tài)磷的濃度已知與之間有下述關(guān)系：各相互獨(dú)立，均服從分布，試求出回歸方程，并對(duì)方程及各因子的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)。土壤樣本123456789101112131415161718532319342465443129583746504456362851158163371575912346117173112111114134731681432021246460716154778193935176967793955416899由上述數(shù)據(jù)可以求得下面的結(jié)果： 所求得的回歸方程為 記 對(duì)方乘作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為：故在的水平上方程是顯著的。 對(duì)各因子作檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量分別為 故在的水平上，是顯著的，與是不顯著的。 某種膨脹合金含有兩種主要成分，做了一批試驗(yàn)如表所示，從中發(fā)現(xiàn)這兩種成分含量和與合金的膨脹數(shù)之間有一定關(guān)系。（1）試確定與之間的關(guān)系表達(dá)式（2）求出其中系數(shù)的最小二乘估計(jì) （3）對(duì)回歸方程及各項(xiàng)作顯著性檢驗(yàn)試驗(yàn)號(hào)金屬成分和膨脹系數(shù)12345678910111213解 （1）由散點(diǎn)圖可知與的關(guān)系為：并可假設(shè)。（2）由以上數(shù)據(jù)可求得： ， =據(jù)最小二乘估計(jì)為：則回歸方程為： （3）對(duì)方程作檢驗(yàn)：故在的水平上方程是顯著的。對(duì)及項(xiàng)作檢驗(yàn)：故方程中兩項(xiàng)均為顯著。66