【正文】 ： 求邊際分布列。解 ， ，； ，； 。同理與相互獨立。 若，則 （1） 將（2）式減去（1）式，得：，于是。解 分布列為，；的分布列為。解 設為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中），為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)（在每次試驗中），而相互獨立，所以為重貝努里試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，因而 。解 ， ，：，問是否有數(shù)學期望？解 ，因為級數(shù)發(fā)散，所以沒有數(shù)學期望。試證發(fā)生故障的儀器數(shù)的數(shù)學++。設為查得的不合格品數(shù)，則，所以。 解 設則的分布列為：于是，設匹配數(shù)為，則，因而。(2) 存在，所以級數(shù)也絕對收斂，從而 在貝努里試驗中，每次試驗成功的概率為，試驗進行到成功與失敗均出現(xiàn)時停止，求平均試驗次數(shù)。 對一批產(chǎn)品進行檢驗，如果檢查到第件仍未發(fā)現(xiàn)不合格品就認為這批產(chǎn)品合格，如在尚未抽到第件時已檢查到不合格品即停止繼續(xù)檢查，且認為這批產(chǎn)品不合格。解 設第個不合格出現(xiàn)后到第個不合格品出現(xiàn)時的產(chǎn)品數(shù)為，又在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)為，則 因獨立同分布，由此得：， 。解 。第三章 連續(xù)型隨機變量 設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為，試以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）=1； （4）。解：（1）當時，且=1，所以可以是某個隨機變量的分布密度； （2）因為=2，所以不是隨機變量的分布密度； （3）當時，所以 不是隨機變量的分布密度。證明也是一個分布函數(shù)，并由此討論，分布函數(shù)是否只有離散型和連續(xù)型這兩種類型？ 證：因為與都是分布函數(shù)，當時，于是又 所以，也是分布函數(shù)。 設隨機變數(shù)的分布函數(shù)為 求常數(shù)及密度函數(shù)。解： ，使該函數(shù)成為一元分布的密度函數(shù)。解：當0時 所以 某城市每天用電量不超過一百萬度，以表示每天的耗電率（即用電量除以一萬度），它具有分布密度為若該城市每天的供電量僅有80萬度，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量90萬度又是怎樣呢？解： 因此，若該城市每天的供電量為80萬度，,若每天的供電量為90萬度。因此，該方程有實根的概率 。 證：（1）設， 若，由于，所以，若，則。同理，對非降。 設二維隨機變數(shù)的密度求的分布函數(shù)。解： 所以，； 設二維隨機變數(shù)的密度函數(shù)為 求（1）。反之，若條件（1），（2）滿足，則 為二維分布的密度函數(shù)。同理。當時。由于，非降、左連續(xù)，所以必有常數(shù)，使得 故。又因關于或關于都是偶函數(shù)，因而，故， 與不相關。的反函數(shù)。 設隨機變數(shù)服從分布，求的分布密度。解：因為在任一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴格上升函數(shù)。若（1）與分布服從及上的均勻分布，且；（2）與分別服從及上的均勻分布。 （2），其它， ，其它。 設隨機變量與獨立，分別具有密度函數(shù) （其中），求+的分布密度。 證：由得。解：在時， 在時。 設隨機變量具有密度函數(shù) 求。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性， 故。 = 設隨機變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學期望與方差。 設為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。證：。解：=，試證：。求條件下的條件分布密度。 設為具有數(shù)學期望的獨立隨機變量序列，隨機變量只取正整數(shù)值，且與獨立，證明： 證： 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機變量的特征函數(shù)，則是隨機變量的特征函數(shù)；（2）若與獨立同分布，其特征函數(shù)為。證：（1），所以是兩點分布11的特征函數(shù)。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。解：由于 故欲證是特征函數(shù)，僅須驗證是密度函數(shù)由于， ，所以為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為。 設為個獨立同柯西分布的隨機變量，證明與有相同的分布。故的特征函數(shù)為 ， 所以也是分布，其密度函數(shù)為，；。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。倘若與相互獨立，令的分布函數(shù)為，則，故或，此與服從柯西分布相矛盾，故與互不獨立。 （3）不是，因為不成立（4）不是，因為。，且為連續(xù)函數(shù)，則在上一致收斂于。 設隨機變量序列，分別依概率收斂于隨機變量與，證明：（1）；（2）。 設隨機變量序列，是一個常數(shù)，且，證明。 證明隨機變量序列依概率收斂于隨機變量的充要條件為： 證：充分性，令，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有 對任意的成立，充分性得證。時為顯然，不妨設（時的修改為顯然），若，的分布函數(shù)分別記作，與，則=，當是的連續(xù)點時，是的連續(xù)點，于是有 成立，結論為真。，隨機變量序列依概率收斂于，證明 .證：記的分布函數(shù)分別為，對任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點且 因為，故存在，當時有令，因為，故存在，當時有 而 其中，當時有 因而，由的任意性知，結論為真。證：對任意的，為顯然，這時有 對任意的，有 故成立，結論得證。證：這時也是獨立同分布隨機變量序列，且 由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，則是直線上的連續(xù)函數(shù)， 結論成立。證：這時仍獨立同分布，且，由辛欽大數(shù)定律知結論成立。證：這時也為獨立同分布隨機變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當然弱收斂于分布，結論得證。，方差存在，又為絕對收斂級數(shù)，令，則服從大數(shù)定律。因為，故有，結論得證。 一本書共有一百萬個印刷符號，求在校對后錯誤不多于15個的概率。令，因為很大，由中心極限定理有由分布表知當時即能滿足上述不等式，于是知。證：設獨立同二項分布，即 的特征函數(shù)為，記的特征函數(shù)記作，因為，故，于是有 而是參數(shù)為的普哇松分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的逆極限定理即知定理成立，證畢。證：易知，于是 故，對任意的，存在，使當時有，因而，從而當，若，由此知 即林德貝爾格條件滿足，所以對成立中心極限定理，結論得證。第五章習題 今從中抽取1600人的隨機樣本，求：（1）樣本中不少于11%的人年收入超過1萬的概率；（2）樣本中19%和21%之間的人受過高等教育的概率。容量為的樣本，求下列統(tǒng)計量的抽樣分布：（1）； （2）； （3）。 12. 若，則服從什么分布？習題解答1. 解 2.0因為和中不含總體中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)。4. 解（2）易見，即，由分布的定義，即。（2）由于，則。 （1） （2）（3），其中 8. 解（1）引入新變量： 0，第個樣本居民年收入沒超過1萬其中 易見：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨立。 9.2. 設是取自總體X的一個樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其中未知，求的矩估計與最大似然估計，如得到一組樣本觀測值X01234頻數(shù)17201021求的矩估計值與最大似然估計值。 其中未知，求的矩估計。 6. 設是取自總體X的一個樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其中未知，求的最大似然估計。 故的矩估計量是的無偏估計。13. 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實踐中知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取6個，量得直徑如下（單位：mm）：,。16. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態(tài)分布，且標準差。設罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布并假設甲生產(chǎn)線與乙生產(chǎn)線互不影響。21. 抽取1000人的隨機樣本估計一個大的人口總體中擁有私人汽車的人的百分數(shù)，樣本中有543人擁有私人汽車，（1）求樣本中擁有私人汽車的人的百分數(shù)的SE；（2）求總體中擁有私人汽車的人的百分數(shù)的95%的置信區(qū)間。 另，X的密度函數(shù)為2. 解 ，令，故的矩估計量。 ，令，故的矩估計量為，另，似然函數(shù) 似然函數(shù) 根據(jù)習題1的結果，的矩估計和最大似然估計量都為，故平均時間間隔的矩估計和最大似然估計都為，即為。 ， 對數(shù)似然函數(shù)為得的最大似然估計量為。11. 證明 易見 又當，查表得，當，查表得。 由于和都未知，故的雙側置信區(qū)間為，的雙側置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。即為。 由于未知，故的雙側置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，即為。 由于未知，故的雙側置信區(qū)間為其中，代入數(shù)據(jù)得， 即為。21. 解（2）不犯第二類錯誤的概率為 設一個單一觀測的子樣取自分布密度函數(shù)為的母體，對考慮統(tǒng)計假設：試求一個檢驗函數(shù)使犯第一，二類錯誤的概率滿足，并求其最小值。 ，改變加工工藝后，測得100個零件，根方差不變，問新工藝對此零件的電阻有無顯著差異？去顯著性水平=。由t檢驗的統(tǒng)計量 取=，又由于，故接受 某紡織廠在正常工作條件下，該廠作輕漿試驗，將輕紗上漿率減低20%，在200臺布機上進行實驗，問新的上漿率能否推廣？。 ， 乙 ， ， ， ， ， ， 。要比較兩臺機床加工的精度，既要檢驗 由 F檢驗 時查表得：， 由于，所以接受，即不能認為兩臺機床的加工精度有顯著差異。 假設六個整數(shù)1，2，3，4，5，6被隨機地選擇，重復60次獨立實驗中出現(xiàn)1，2，3，4，5，6的次數(shù)分別為13，19，11，8，5，4。 對某型號電纜進行耐壓測試實驗，記錄43根電纜的最低擊穿電壓，數(shù)據(jù)列表如下：測試電壓 擊穿頻數(shù) 1 1 1 2 7 8 8 4 6 4 1試對電纜耐壓數(shù)據(jù)作分析檢驗（用概率圖紙法和擬合優(yōu)度檢驗）。解 對每一靶打一發(fā)，只記錄命中或不命中可用二點分布描述，而對一個靶打十發(fā)，其射擊結果可用二項分布來描述，其中未知，可求其極大似然估計為 設是十發(fā)射擊中射中靶的個數(shù)，建立假設 用擬合優(yōu)度檢驗法列表如下：0123456789100241022261812420 取，=由于，所以接受。列表斷頭數(shù)1234501234826811238198取，=，取，=由于，所以拒絕。溫度606570758005213266367264806151518 計算表；方差分析表來源平方和自由度均方和F比溫度e38410總和17由于，所以在上水平上認為溫度對得率有顯著影響。解 設所求回歸方程為，由數(shù)據(jù)可以求出： 由最小二乘法估計公式可知 故可得回歸方程：的估計是 則的估計為655 設 相互獨立同服從于。 研究同一地區(qū)土壤中所含植物可給態(tài)磷的情況，得到18組數(shù)據(jù)如下，其中，——土壤內(nèi)所含無機磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液并受溴化物水解的有機磷濃度——土壤內(nèi)溶于K2CO3溶液但不溶于溴化物的有機磷濃度——載在土壤內(nèi)的玉米中可給態(tài)磷的濃度已知與之間有下述關系：各相互獨立，均服從分布，試求出回歸方程，并對方程及各因子的顯著性進行檢驗。（1）試確定與之間的關系表達式（2）求出其中系數(shù)的最小二乘估計 （3）對回歸方程及各項作顯著性檢驗試驗號金屬成分和膨脹系數(shù)12345678910111213解 （1）由散點圖可知與的關系為：