【正文】 2)(3)Ot 4．（3）中，設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為初始兵力相同. (1) 問乙方取勝時的剩余兵力是多少,乙方取勝的時間如何確定. (2) 若甲方在戰(zhàn)斗開始后有后備部隊(duì)以不變的速率增援,重新建立模型,討論如何判斷雙方的勝負(fù). 解:用表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭模型可近似表示為: 現(xiàn)求(1)的解: (1)的系數(shù)矩陣為.再由初始條件，得又由其解為 (1) 即乙方取勝時的剩余兵力數(shù)為又令注意到. (2) 相軌線為 此相軌線比書圖11中的軌線上移了乙方取勝的條件為第六章（2008年11月20日），如果漁場魚量的自然增長仍服從Logistic規(guī)律，而單位時間捕撈量為常數(shù)h．(1)分別就，這3種情況討論漁場魚量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況．(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，．解：設(shè)時刻t的漁場中魚的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知：變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為記(1).討論漁場魚量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性：　　　由，得 ．即 ，(1)的解為：①當(dāng)，(1)無實(shí)根，此時無平衡點(diǎn)；②當(dāng)，(1)有兩個相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為.， 不能斷定其穩(wěn)定性.但 及 均有 ，即．不穩(wěn)定；③當(dāng)，時，得到兩個平衡點(diǎn)：， 易知： ， ， ，平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)穩(wěn)定x(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為即 ， 易得 此時 ，但這個平衡點(diǎn)不穩(wěn)定．．要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場魚量，且盡量接近，但不能等于．第八章（2008年12月9日）、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素，擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個方案中選一個，畫出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益解：目標(biāo)層 建筑就 業(yè)岸間商 業(yè)當(dāng)?shù)厣虡I(yè)收入省時 準(zhǔn)則層修隧道建橋梁設(shè)渡輪 方案層 . 問對于一個即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題要分成哪3個層次？具體內(nèi)容分別是什么？答：層次分析法的基本步驟為：（1）．建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）．構(gòu)造成對比較陣；（3）．計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)；（4）．計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)． 對于一個即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個層次. 目標(biāo)層是選擇工作崗位，方案層是工作崗位工作崗位工作崗位3等，準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.3．用層次分析法時，一般可將決策問題分解成哪3個層次？試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件. 答：用層次分析法時，一般可將決策問題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個層次； 一致性指標(biāo)的定義為：．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n．7. 右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競賽圖，它是雙向連通的嗎？找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次.21345解：. 等都是完全路徑. 此競賽圖的鄰接矩陣為 令，各級得分向量為， ， ， 由此得名次為5，1（4），2，3 （選手1和4名次相同）.第九章（2008年12月23日）一報(bào)童每天從郵局訂購一種報(bào)紙，第二天削價可以全部賣出，其概率分布如下表：售出報(bào)紙數(shù)（百份）012345概率0．05試問報(bào)童每天訂購多少份報(bào)紙最佳(訂購量必須是100的倍數(shù))？解：設(shè)每天訂購百份紙，則收益函數(shù)為: 收益的期望值為G(n) = + 現(xiàn)分別求出 =時的收益期望值. G(0)=0；G(1)=+7+7（+++）=。G(2)= ()。G(3)=() G(4)=() G(5)= 當(dāng)報(bào)童每天訂300份時，收益的期望值最大.《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第一章（2008年9月9日）4．在“椅子擺放問題”的假設(shè)條件中，將四腳的連線呈正方形改為呈長方形，.解：設(shè)椅子四腳連線呈長方形ABCD. AB與CD的對稱軸為軸，、B與地面距離之和記為。C、設(shè)就得到.數(shù)學(xué)模型：,有,且,則,使.模型求解:令 .就有 .再由的連續(xù)性,得到是一個連續(xù)函數(shù). ：,使.又因?yàn)?.8. 假定人口的增長服從這樣的規(guī)律：時刻的人口為,單位時間內(nèi)人口的增量與成正比（其中為最大容量）.、阻滯增長模型的結(jié)果比較.解：現(xiàn)考察某地區(qū)的人口數(shù)，記時刻的人口數(shù)為（一般是很大的整數(shù)）,因?yàn)閱挝粫r間內(nèi)人口增長量與成正比, ： .兩邊除以,并令,得到 解為 如圖實(shí)線所示， 指數(shù)模型 當(dāng)充分大時 它與Logistic模型相近. Logistic模型 o t 9．為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對象時除了從正面分析外，還常常需要從側(cè)面：（1） 某甲早8：00從山下旅店出發(fā)，沿一條路徑上山，下午5：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山，下午5：，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)？（2） 37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，？（3） 甲乙兩站之間有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車，但發(fā)車時刻，某人每天在隨機(jī)的時刻到達(dá)丙站，并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果發(fā)現(xiàn)100天中約有90天到達(dá)甲站，？（4） 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6：00抵達(dá)T市車站，他的妻子駕車準(zhǔn)時到車站接他回家，一日他提前下班搭早一班火車于5：30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子象往常一樣駕車前來，在半路上遇到他，即接他回家，此時發(fā)現(xiàn)比往常？（5） 一男孩和一女孩分別在離家2 km和1 km且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時放學(xué)后分別以4 km/h和2 km/ km/h的速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中，問小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上學(xué)時小狗也往返奔波在他們之間，問當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時小狗在何處？解：（1）方法一：以時間為橫坐標(biāo)，以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐虨榭v坐標(biāo)， 第一天的行程可用曲線（）表示 ，第二天的行程可用曲線（）表示，（）（）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn),兩天都在時刻經(jīng)過地點(diǎn). x d 方法二：設(shè)想有兩個人， () 一人上山，一人下山，同一天同 時出發(fā)，沿同一路徑,必定相遇. () t 早8 晚5 方法三：我們以山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為,并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為(0).由題意知：,.令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即.（2）36場比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外，每隊(duì)都負(fù)一場；6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽1輪，4隊(duì)賽2輪，32隊(duì)賽5輪. 隊(duì)需賽場，若，則需賽輪.（3）不妨設(shè)從甲到乙經(jīng)過丙站的時刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時刻表應(yīng)該是8：09，8：19，8：29……（4），先帶他前往車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段路程汽車多跑了5分鐘，而到車站的時間是6：00，所以妻子駕車遇到他的時刻應(yīng)該是5：55.（5）放學(xué)時小狗奔跑了3 （可在任何位置），因?yàn)樵O(shè)想放學(xué)時小狗在任何位置開始跑，是由于上學(xué)時小狗初始跑動的那一瞬間，方向無法確定.10. 某人第一天上午9：00從甲地出發(fā)，于下午6：：00他又從乙地出發(fā)按原路返回，下午6：，：00回到甲地，結(jié)論將如何？答：（方法一）我們以甲地為始點(diǎn)記路程,設(shè)從甲地到乙地的路程函數(shù)為(即t時刻走的路程為),同樣設(shè)從乙地到甲地的路函數(shù)為,并設(shè)甲地到乙地的距離為(0).由題意知：,. 令,則有，由于,都是時間t的連續(xù)函數(shù),因此也是時間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,使,即. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確,這是因?yàn)椋?（方法二）此題可以不用建模的方法,而變換角度考慮：設(shè)想有兩個人，一人從甲地到乙地,另一人從乙地到甲地,同一天同時出發(fā),沿同一路徑,：00回到甲地,則結(jié)論仍然正確. 第一章作業(yè)解答第 58 頁 共 58 頁