數(shù)學(xué)分析各校考研試題及答案-資料下載頁
2025-06-24 05:59本頁面
【正文】 七、 證明含參變量反常積分上一致收斂，其中δ0，但是在(0, )內(nèi)不一定一致收斂。證明：八、 在底面半徑為a，高為h的正圓錐內(nèi)作長方體，其一面與圓錐地面重合，對面四個(gè)頂點(diǎn)在錐面上，求長方體的最大體積。解：九、 設(shè)，,在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，以及在(0,a)內(nèi)取到最值，且滿足f(0)=0,f(a)=a。證明：1）； 2）證明：1）命題有問題，取a=1/2,f(x)=5x8x2 f(0)=0,f(1/2)=1/2 f(x)在5/16取到最值，但是f(x)ax只在x=0,x=9/16等于0，與命題1矛盾。2004年上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)分析一（14）設(shè)，證明 證 因 ，故利用Stolz公式，得二（14）證明在上不一致連續(xù).證 因，， ，故在上不一致連續(xù).三（14）設(shè)在上連續(xù)，且＝，證明，使＝證 作（），則在上連續(xù)，因＝，故，情形1 若，則取，則＝，情形2 若，則因，故由介值定理知，存在，使得，即＝.四（14）證明不等式＜＜， 證 作，則因，故在上嚴(yán)格單調(diào)減少，而，因此，在上，有，即＜＜.五 (14) 設(shè)收斂,且在上一致連續(xù)，證明= 0.證 因在上一致連續(xù)，故，使得當(dāng)且時(shí)，有，令，則由積分第一中值定理得，使得.因收斂，故級數(shù)收斂，從而，即，也即，故對上述的，存在，使得當(dāng)時(shí)，.取，則當(dāng)時(shí)，因故存在惟一的，使得，易見，且，從而六（14）設(shè)，，證明級數(shù)收斂.解. ，因，故只要證收斂即可.七（14）設(shè)在上連續(xù)，= 0 , ， 證明在上一致收斂.八（12）設(shè)在上連續(xù)，證明＝.證 （1）（令，則， （2）因在上連續(xù)，故，使得，（3），記，不妨設(shè)，則，（4） （5）因在上連續(xù)，故在上一致連續(xù)，故對上述的正數(shù)，當(dāng)且時(shí)，有（6）因，記，則存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，（7）當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有（8）由（3）和（7）知，當(dāng)時(shí)，有九（12）設(shè)0，＝＋，證明＝1 證 （1）要證＝1 ，只要證，即只要證，即證（2）因＝＋，故， 因此只要證，即只要證（3）由知，單調(diào)增加，假如有上界，則必有極限，由＝＋知，＝＋，因此，矛盾.這表明單調(diào)增加、沒有上界，因此. （證完）十（28）計(jì)算下述積分：1．，其中D是矩形區(qū)域，解 記， 2．，其中S是曲面上的那部分正側(cè).解 記（取下側(cè)），則，由高斯公式知，華中科技大學(xué)2004年《數(shù)學(xué)分析》試題及解答以下每題15分1．設(shè)，（），（）．求級數(shù)之和．解 由（），得．2．設(shè)，（）．證明（）．此估計(jì)式能否改進(jìn)？證明 將、在點(diǎn)（）用Taylor公式展開并相減，則得（），由于，因此得．此不等式可以改進(jìn)為：（），因?yàn)闀r(shí)，上式．3．設(shè)有處處連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，．證明．證明 4．設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可微，存在唯一點(diǎn)，使得，．設(shè)，（），證明是在上的最大值．證明 （反證法），假設(shè)不是在上的最大值。由于，存在，當(dāng)時(shí)?？疾扉]區(qū)域，顯然，由已知在上連續(xù)，從而在上取得最大值，設(shè)為。顯然在上，總有，因而必有：。當(dāng)時(shí)，因此是在上的最大值。由假設(shè)。這與已知矛盾，可知假設(shè)不真。5．設(shè)處處有．證明：曲線位于任一切線之上方，且與切線有唯一公共點(diǎn)．證明 設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，在該點(diǎn)處曲線的切線方程為對曲線上任意點(diǎn)，按Taylor公式展開，得由知，當(dāng)時(shí)，而為唯一公共點(diǎn)．得證．6．求，是取反時(shí)針方向的單位圓周．解 的參數(shù)方程：7．設(shè)是連續(xù)正值函數(shù)，．證明（）是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)．證明 ，當(dāng)因此，（）是嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)。8．設(shè)級數(shù)收斂，證明．證明 由收斂知，在上一致收斂，從而左連續(xù)，即．對，有，于是．9．設(shè)在上連續(xù)，其零點(diǎn)為，．證明：積分收斂級數(shù)收斂．證明 ，若收斂，則，即收斂。若不收斂，同理可知不收斂。10．設(shè)，在上連續(xù)，（），當(dāng)時(shí)，在上一致收斂于．證明：至少存在一點(diǎn)，使得．證明 由在上一致收斂于，得知在上連續(xù)，且數(shù)列收斂于，即，由于，得，至少存在一點(diǎn)，使得．注 或用反證法：若對，有，由的連續(xù)性得，與上面相同證法，推出矛盾．
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