常微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用-資料下載頁
2025-06-24 04:36本頁面
【正文】 時(shí)， 此即通貨膨脹，是由于供不應(yīng)求造成的，為平抑物價(jià)，必須降低消費(fèi)資金的投放，把需求降下來或增加商品的供給量，例如：壓縮政府機(jī)關(guān)的公務(wù)員數(shù)量和企業(yè)的多余職工就能降低消費(fèi)資金，或是實(shí)行商品房推銷等措施，就是增加了商品的供給，可以起到抑制物價(jià)上漲的作用。關(guān)于新商品的銷售，也可應(yīng)用常微分方程。一種新產(chǎn)品面世，廠家和商家總要采取各種措施，包括大做廣告等，促進(jìn)銷售。他們都希望對(duì)產(chǎn)品的銷售速度與銷售數(shù)量做到心中有數(shù)，以便用于組織生產(chǎn)，安排進(jìn)貨。用常微分方程來描述產(chǎn)品推銷速度，并由此分析出結(jié)果。以指導(dǎo)生產(chǎn)和銷售。我們以耐用商品為例，這種商品可以長期使用，價(jià)格較高，一般不會(huì)廢棄和重復(fù)購置，價(jià)格一般也相對(duì)穩(wěn)定。這一類型的新產(chǎn)品，例如微波爐、電飯鍋等，剛進(jìn)入市場(chǎng)時(shí)，人們對(duì)其功能尚不是很熟悉，所以銷售速度較慢。隨著銷售數(shù)量的增加，人們對(duì)于它的熟悉程度就會(huì)增加，銷售速度也增加，但當(dāng)這類商品銷售到一定數(shù)量時(shí)，因?yàn)槿藗儾粫?huì)重復(fù)購置，而使銷售速度減慢。假設(shè)需求量有一個(gè)上界，用表示時(shí)間已售出的產(chǎn)品數(shù)量，則尚未購置的人數(shù)大約為銷售速度與銷售量和的乘積成正比，比例系數(shù)記為，則 （1）解得： （2）其中是任意常數(shù)對(duì)（1）求導(dǎo)，得： （3）當(dāng)時(shí)，從（2）可求出，使由此可做如下分析：（1）當(dāng)時(shí)，因此單調(diào)上升（2）當(dāng)時(shí)，因此單調(diào)下降這樣，在時(shí)達(dá)到最大值，這表明在銷售小于最大銷售的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷售量達(dá)到最大銷售量的一半時(shí)，產(chǎn)品最為暢銷，其后銷售速度開始下降。五 應(yīng)用于刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定牛頓冷卻定律也運(yùn)用了常微分方程的知識(shí)，應(yīng)用牛頓冷卻定律可以解決很多實(shí)際問題。牛頓冷卻定律的內(nèi)容是物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比。如果物體在房間里，與物體相比，若房間非常大，可假設(shè)房間的溫度保持不變，即保持常溫。也就是物體對(duì)房間溫度的改變可以忽略不計(jì)。把牛頓冷卻定律可應(yīng)用于刑事偵察中死亡時(shí)間的鑒定問題。當(dāng)謀殺發(fā)生后，尸體的溫度從原來的溫度37攝氏度按照牛頓冷卻定律開始下降。如果周圍空氣的溫度保持20攝氏度，那么兩小時(shí)后尸體的溫度變?yōu)?5攝氏度。如果現(xiàn)在尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是30攝氏度，假設(shè)現(xiàn)在的時(shí)間是下午4點(diǎn)整，那么我們就可以知道謀殺是什么時(shí)候發(fā)生的了。那么我們可以列式為： （其中是常數(shù)）分離變量并求解得：代入初值條件，可求得，于是得該初值問題的解為因?yàn)閮尚r(shí)后尸體的溫度變?yōu)?5攝氏度，于是我們可以求出的值，則有求得 于是溫度函數(shù)為 那么把代入上式，就可以求出，解得 小時(shí)于是，即8小時(shí)24分鐘，那么我們主知道謀殺發(fā)生的時(shí)間是上午7點(diǎn)36分。六 在人口增減規(guī)律中的應(yīng)用盡管人口的增加或減少是離散的，但是由于增加或減少的只是少數(shù)個(gè)體，與全體數(shù)量相比，這種增量是很微小的，所以我們可以近似地假設(shè)大規(guī)模種群數(shù)量隨時(shí)間的變化是連續(xù)的甚至是可微的，因而我們可以用常微分方程來表示。設(shè)表示時(shí)刻某地區(qū)的人口數(shù)，用表示出生率和死亡率的差。如果該地區(qū)的人口孤立，即沒有移進(jìn)和移出的移民。則人口的變化率。在大多數(shù)情況下，可以假設(shè)是常數(shù)，即不隨時(shí)間變化。于是可得方程：這一方程在人口學(xué)中叫做馬爾薩斯定律。其解為（為任意常數(shù)）如果在時(shí)，某地區(qū)的人口數(shù)為，則，將代入前一方程得： （1）該函數(shù)表示在上述假設(shè)下，人口總數(shù)是按指數(shù)規(guī)律增長的。用（1）方程估算美國1970到1860年間的人口數(shù)量，其結(jié)果與實(shí)際值相近。但對(duì)1870年到1990年美國人口估算時(shí)，其結(jié)果與實(shí)際人口吻合不好。事實(shí)上，當(dāng)，依生物學(xué)常識(shí)判斷，這是不可能的。因?yàn)樽罱K人口擁擠產(chǎn)生的效應(yīng)，如向外移民、疾病、戰(zhàn)爭、食物短缺、種內(nèi)競(jìng)爭等，都必將使人口的增長受到抑制。因而假設(shè)人口相對(duì)增長率為一常數(shù)，在時(shí)間間隔不太大的情況下是合適的，但當(dāng)時(shí)間間隔增大時(shí)，相對(duì)增長率不是一個(gè)常數(shù)?？紤]各種綜合因素，1837年荷蘭的生物數(shù)學(xué)家Verhulst得方程組 （2）其中為常數(shù)，稱作生命常數(shù)。當(dāng)或時(shí)，將方程分離變量后積分，因?yàn)? 所以得 即 從而 根據(jù)文獻(xiàn)記載，美國和法國都曾用這個(gè)公式預(yù)報(bào)過人口變化，結(jié)果相當(dāng)符合實(shí)際。結(jié)束語 本文選取了幾個(gè)典型的例子，表明常微分方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用。我們還可以充分發(fā)揮常微分方程解決實(shí)際問題的潛力。例如在自然科學(xué)、環(huán)境、政治、文化、體育、交通、通信等許多方面我們都可以建立數(shù)學(xué)模型，用于解決實(shí)際問題。參考文獻(xiàn)：[1] William F. Lucas微分方程模型（M） 國防科技大學(xué)出版社1998年 [2] 張順燕 數(shù)學(xué)的思想方法和應(yīng)用（M） 北京大學(xué)出版社1997年[3] 張國楚 大學(xué)文科數(shù)學(xué)（M） 高等教育出版社2002年 第187頁[4] 王樹禾 微分方程模型與混沌（M） 國防科技大學(xué)出版社1999年 [5] 周義倉 靳禎 常微分方程及其應(yīng)用（M） 科學(xué)出版社2003年[6] 秦化淑 林正國 常微分方程及其應(yīng)用（M） 國防工業(yè)出版社1985年[7] 王聯(lián) 蒲富全 劉永清 常微分方程理論及其應(yīng)用（M） 科學(xué)出版社1992年[8] 周尚仁 權(quán)宏順 常微分方程習(xí)題集 (M) 高等教育出版社 1980年20
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