【正文】 ，也稱母體。在實際工作中，為了了解研究對象的某些數(shù)學特性，往往只能從總體中抽出部分個體作為資料，用數(shù)理統(tǒng)計的方法加以分析。這種從總體中抽取部分個體的過程稱為“抽樣”，所抽得部分稱為“樣本”。通過對樣本的測量，可以推測整體的特征。為什么樣本標準差的n個離差平方不除以n，而要除以（n1）呢?n表示樣本容量（個數(shù)），（n1）稱為自由度。自由度反映分布或差異信息的個數(shù)。例如，當n=1時，即K只有一個數(shù)值時，K=，（K）=0，數(shù)據(jù)和均值沒有差異，即表示差異的信息個數(shù)為11=0；當n=2時，是K和K的中值，則（K）和（K）的絕對值相等，只是符號相反。它們只提供一個信息，即兩個數(shù)據(jù)與中值相差︱K︳，這就是說差異的個數(shù)為21=1。當n=3時，也是如此。例如，K分別為6，均值為3，誤差分別為1和3。實際上，我們得到的誤差信息只有兩個。因為比均值小的數(shù)據(jù)的誤差絕對值與比均值大的數(shù)據(jù)的誤差絕對值是相等的。我們知道了兩個誤差信息，就等于知道了第三個誤差信息。例如，一個數(shù)據(jù)比均值小2，一個數(shù)據(jù)比均值小1，則另一個數(shù)據(jù)必定比均值大3。當n為4或更多時，數(shù)據(jù)與均值的誤差信息總會比樣本容量少一個。因此，要用（n1）作為標準差的分母。只有（n1）個對我們有用的信息，所以用（n1）作為分母才是真正的平均。由于在財務(wù)管理實務(wù)中使用的樣本量都很大，區(qū)分總體標準差和樣本標準差沒有什么實際意義。在已經(jīng)知道每個變量值出現(xiàn)概率的情況下，標準差可以按下式計算：標準差（σ）= %，%（計算過程見表4—2），由于它們的預(yù)期報酬率相同，因此可以認為A項目的風險比B項目大。標準差是以均值為中心計算出來的，因而有時直接比較標準差是不準確的，需要剔除均值大小的影響。為了解決這個問題，引入了變化系數(shù)（離散系數(shù)）的概念。變化系數(shù)是標準差與均值的比，它是從相對角度觀察的差異和離散程度，在比較相關(guān)事務(wù)的差異程度時較之直接比較標準差更好些。變化系數(shù)=表4—2 A項目的標準差K（K）（K）P90%～15%=15%～15%0=060%～15%=方差（σ）標準差（σ）%B項目的標準差K（K）（K）P20%～15%=15%～15%0=010%～15%=方差（σ）標準差（σ）%【例4—29】A證券的預(yù)期報酬率為10％，標準差是12％；B證券的預(yù)期報酬率為18％，標準差是20％。變化系數(shù)（A）=12％/10％=變化系數(shù)（B）=20％/18％=直接從標準差看，B證券的離散程度較大，能否說B證券的風險比A證券大呢？不能輕易下這個結(jié)論，因為B證券的平均報酬率較大。如果以各自的平均報酬率為基礎(chǔ)觀察，，B證券的相對風險較小。這就是說，A的絕對風險較小，但相對風險較大，B與此正相反。三、投資組合的風險和報酬投資組合理論認為，若干種證券組成的投資組合，其收益是這些證券收益的加權(quán)平均數(shù)，但是其風險不是這些證券風險的加權(quán)平均風險，投資組合能降低風險。這里的“證券”是“資產(chǎn)”的代名詞，它可以是任何產(chǎn)生現(xiàn)金流的東西，例如一項生產(chǎn)性實物資產(chǎn)、一條生產(chǎn)線或者是一個企業(yè)。（一）證券組合的預(yù)期報酬率和標準差1．預(yù)期報酬率兩種或兩種以上證券的組合，其預(yù)期報酬率可以直接表示為：r= 其中：r是第j種證券的預(yù)期報酬率；A是第j種證券在全部投資額中的比重；m是組合中的證券種類總數(shù)。2．標準差與相關(guān)性證券組合的標準差，并不是單個證券標準差的簡單加權(quán)平均。證券組合的風險不僅取決于組合內(nèi)的各證券的風險，還取決于各個證券之間的關(guān)系?！纠?—30】假設(shè)投資100萬元，A和B各占50％。如果A和B完全負相關(guān)，即一個變量的增加值永遠等于另一個變量的減少值。組合的風險被全部抵銷，見表4—3所示。如果A和B完全正相關(guān)，即一個變量的增加值永遠等于另一個變量的增加值。組合的風險不減少也不擴大，見表4—4所示。表4—3 完全負相關(guān)的證券組合數(shù)據(jù)方案AB組合年度收益報酬率收益報酬率收益報酬率1912040％510％1515％192510％2040％1515％19335％5％1515％1945％35％1515％19515％15％1515％平均數(shù)15％15％1515％標準差％％0表4—4 完全正相關(guān)的證券組合數(shù)據(jù)方案AB組合年度收益報酬率收益報酬率收益報酬率1912040％2040％4040％192510％510％1O10％19335％35％3535％1945％5％55％19515％15％1515％平均數(shù)15％15％1515％標準差％％％實際上，各種股票之間不可能完全正相關(guān)，也不可能完全負相關(guān)，所以不同股票的投資組合可以降低風險，但又不能完全消除風險。一般而言，股票的種類越多，風險越小。（一）投資組合的風險計量投資組合的風險不是各證券標準差的簡單加權(quán)平均數(shù)，那么它如何計量呢？投資組合報酬率概率分布的標準差是：σ= 其中：m是組合內(nèi)證券種類總數(shù)；Aj是第j種證券在投資總額中的比例；Ak是第k種證券在投資總額中的比例；σjk是第j種證券與第k種證券報酬率的協(xié)方差。該公式的含義說明如下：1．協(xié)方差的計算兩種證券報酬率的協(xié)方差，用來衡量它們之間共同變動的程度：σjk=rjkσjσk 其中：rjk是證券j和證券k報酬率之間的預(yù)期相關(guān)系數(shù)，σj是第j種證券的標準差，σk是第k種證券的標準差。證券j和證券k報酬率概率分布的標準差的計算方法，前面講述單項證券標準差時已經(jīng)介紹過。相關(guān)系數(shù)總是在1～+1間取值。當相關(guān)系數(shù)為1時，表示一種證券報酬率的增長總是與另一種證券報酬率的增長成比例，反之亦然；當相關(guān)系數(shù)為1時，表示一種證券報酬的增長與另一種證券報酬的減少成比例，反之亦然；當相關(guān)系數(shù)為0時，表示缺乏相關(guān)性，每種證券的報酬率相對于另外的證券的報酬率獨立變動。一般而言，多數(shù)證券的報酬率趨于同向變動，因此兩種證券之間的相關(guān)系數(shù)多為小于1的正值。相關(guān)系數(shù)（r）= 2．協(xié)方差矩陣根號內(nèi)雙重的符號，表示對所有可能配成組合的協(xié)方差，分別乘以兩種證券的投資比例，然后求其總和。例如，當m為3時，所有可能的配對組合的協(xié)方差矩陣如下所示：σ1，1 σ1，2 σ1，3 σ2，1 σ2，2 σ2，3 σ3，1 σ3，2 σ3，3 左上角的組合（1，1）是σ1 與σ1 之積，即標準差的平方，稱為方差，此時，j=k。從左上角到右下角，共有三種j=k的組合，在這三種情況下，影響投資組合標準差的是三種證券的方差。當j=k時，相關(guān)系數(shù)是1，并且σjσk變?yōu)棣?。這就是說，對于矩陣對角線位置上的投資組合，其協(xié)方差就是各證券自身的方差。組合σ1，2代表證券1和證券2報酬率之間的協(xié)方差，組合σ2，1代表證券2和證券1報酬率的協(xié)方差，它們的數(shù)值是相同的。這就是說需要計算兩次證券1和證券2之間的協(xié)方差。對于其他不在對角線上的配對組合的協(xié)方差，我們同樣計算了兩次。雙重求和符號，就是把由各種可能配對組合構(gòu)成的矩陣中的所有方差項和協(xié)方差項加起來。3種證券的組合，一共有9項，由3個方差項和6個協(xié)方差項（3個計算了兩次的協(xié)方差項）組成。3．協(xié)方差比方差更重要該公式表明，影響證券組合的標準差不僅取決于單個證券的標準差，而且還取決于證券之間的協(xié)方差。隨著證券組合中證券個數(shù)的增加，協(xié)方差項比方差項越來越重要。這一結(jié)論可以通過考察上述矩陣得到證明。例如，在兩種證券的組合中，沿著對角線有兩個方差項σ1，1和σ2，2，以及兩項協(xié)方差項σ1，2和σ2，1。對于三種證券的組合，沿著對角線有3個方差項σ1，σ2，σ3，3以及6項協(xié)方差項。在四種證券的組合中，沿著對角線有4項方差項和12項協(xié)方差。當組合中證券數(shù)量較多時，總方差主要取決于各證券間的協(xié)方差。例如，在含有20種證券的組合中，矩陣共有20個方差項和380個協(xié)方差項。當一個組合擴大到能夠包含所有證券時，只有協(xié)方差是重要的，方差項將變得微不足道。因此，充分投資組合的風險，只受證券之間協(xié)方差的影響而與各證券本身的方差無關(guān)。下面舉例說明兩種證券組合報酬率的期望值和標準差的計算過程。【例4—31】假設(shè)A證券的預(yù)期報酬率為10％，標準差是12％。B證券的預(yù)期報酬率是18％，標準差是20％。假設(shè)等比例投資于兩種證券，即各占50％。該組合的預(yù)期報酬率為：rp=10％+18％=14％如果兩種證券的相關(guān)系數(shù)等于1，沒有任何抵銷作用，在等比例投資的情況下該組合的標準差等于兩種證券各自標準差的簡單算術(shù)平均數(shù)，即16％。，組合的標準差會小于加權(quán)平均的標準差，其標準差是：σp= = =％從這個計算過程可以看出：只要兩種證券之間的相關(guān)系數(shù)小于1，證券組合報酬率的標準差就小于各證券報酬率標準差的加權(quán)平均數(shù)。（三）兩種證券組合的投資比例與有效集在例4—31中，兩種證券的投資比例是相等的。如投資比例變化了，投資組合的預(yù)期報酬率和標準差也會發(fā)生變化。對于這兩種證券其他投資比例的組合，計算結(jié)果見表4—5。表4—5 不同投資比例的組合組合對A的投資比例對B的投資比例組合的期望收益率組合的標準差110％％2％％3％％4％％5％％6O1％％圖4—11描繪出隨著對兩種證券投資比例的改變，期望報酬率與風險之間的關(guān)系。圖表中黑點與表4—5中的六種投資組合一一對應(yīng)。連接這些黑點所形成的曲線稱為機會集，它反映出風險與報酬率之間的權(quán)衡關(guān)系。該圖有幾項特征是非常重要的：1．它揭示了分散化效應(yīng)。比較曲線和以虛線繪制的直線的距離可以判斷分散化效應(yīng)的大小。該直線是由全部投資于A和全部投資于B所對應(yīng)的兩點連接而成。它是當兩種證券完全正相關(guān)（無分散化效應(yīng)）時的機會集曲線。從曲線和直線間的距離，我們可以看出本例的風險分散效果是相當顯著的。投資組合的抵銷風險的效應(yīng)可以通過曲線1～2的彎曲看出來。從第1點出發(fā)，拿出一部分資金投資于標準差較大的B證券會比將全部資金投資于標準差小的A證券的組合標準差還要小。這種結(jié)果與人們的直覺相反，揭示了風險分散化的內(nèi)在特征。一種證券的未預(yù)期變化往往會被另一種證券的反向未預(yù)期變化所抵銷。盡管從總體上看，這兩種證券是同向變化的，抵銷效應(yīng)還是存在的，在圖中表現(xiàn)為機會集曲線有一段1～2的彎曲。0 10 12 14 16 18 20 標準差（%）1816141210期望報酬率（%）最小方差組合全部投資于B123456圖411 投資于兩種證券組合的機會集2．它表達了最小方差組合。曲線最左端的第2點組合被稱作最小方差組合，它在持有證券的各種組合中有最小的標準差。本例中，最小方差組合是80％的資金投資于A證券、20％的資金投資于B證券。離開此點，無論增加或減少投資于B證券的比例，都會導(dǎo)致標準差的小幅上升。必須注意的是，機會集曲線向點A左側(cè)凸出的現(xiàn)象并非必然伴隨分散化投資發(fā)生，它取決于相關(guān)系數(shù)的大小。3．它表達了投資的有效集合。在只有兩種證券的情況下，投資者的所有投資機會只能出現(xiàn)在機會集曲線上，而不會出現(xiàn)在該曲線上方或下方。改變投資比例只會改變組合在機會集曲線上的位置。最小方差組合以下的組合（曲線1～2的部分）是無效的。沒有人會打算持有預(yù)期報酬率比最小方差組合預(yù)期報酬率還低的投資組合，它們比最小方差組合不但風險大，而且報酬低。因此，機會集曲線1～2的彎曲部分是無效的，它們與最小方差組合相比不但標準差大（即風險大），而且報酬率也低。本例中，有效集是2～6之間的那段曲線，即從最小方差組合點到最高預(yù)期報酬率組合點的那段曲線。（四）相關(guān)性對風險的影響圖4—11中，，就成為圖4—12。從圖4—12中看到：（1），并且沒有向點1左側(cè)凸出的現(xiàn)象。（2）最小方差組合是100％投資于A證券。將任何比例的資金投資于B證券，所形成的投資組合的方差都會高于將全部資金投資于風險較低的A證券的方差。因此，新的有效邊界就是整個機會集。（3）證券報酬率的相關(guān)系數(shù)越小，機會集曲線就越彎曲，風險分散化效應(yīng)也就越強。證券報酬率之間的相關(guān)性越高，風險分散化效應(yīng)就越弱。完全正相關(guān)的投資組合，不具有風險分散化效應(yīng)，其機會集是一條直線。0 10 12 14 16 18 20 標準差（%）1816141210期望報酬率（%）全部投資于A123456圖4—12 不同相關(guān)系數(shù)情況下的兩種證券組合的機會集（五）多種證券組合的風險和報酬對于兩種以上證券構(gòu)成的組合，以上原理同樣適用。值得注意的是，多種證券組合的機會集不同于兩種證券的機會集。兩種證券的所有可能組合都落在一條曲線上，而兩種以上證券的所有可能組合會落在一個平面中，見圖4一13的陰影部分所示。這個機會集反映了投資者所有可能的投資組合，圖中陰影部分中的每一點都與一種可能的投資組合相對應(yīng)。隨著可供投資的證