【正文】 的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90176。，再根據(jù)垂直的定義證明即可；（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，然后求出OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。窘獯稹浚?）證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1=∠2，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH+∠3=∠BAD=90176。，∴∠1+∠BAH=90176。，∴∠AHB=180176。﹣90176。=90176。，∴BE⊥AG；（2）解：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH=AO=AB=2，在Rt△AOD中，OD===2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，DH的最小值=OD﹣OH=2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出DH最小時(shí)點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．　22．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，在AB的兩側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，AB=5，AC=3．點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與A，B重合），CP交AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．（1）求∠P的正切值；（2）當(dāng)CP⊥AB時(shí)，求CD和CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=90176。，由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)圓周角定理得出∠A=∠P，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；（2）三角形的面積公式求出∠A的正切值，故可得出CD的長(zhǎng)，再由垂徑定理求出PC的長(zhǎng)，由（1）中∠P的正切值即可得出CQ的長(zhǎng)；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得出△ABC∽△PQC，故可得出=，故可得出CQ==PC，故當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ取得最大值，再把AB的長(zhǎng)代入進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，∵AB=5，AC=3，∴BC===4，∴tan∠A==，∵∠A與∠P是同弧所對(duì)的圓周角，∴tan∠P=tan∠A=；（2）∵Rt△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，CD⊥AB，∴CD===，∵AB⊥CD，∴PC=2CD=2=，∴CQ=PC?tan∠P==；（3）∵PC⊥CQ，∴∠PCQ=90176。，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，∴∠PCQ=∠ACB=90176。，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC，∴=，∴CQ==PC，∴當(dāng)PC是⊙O的直徑時(shí)CQ最長(zhǎng)，∴CQ最長(zhǎng)=5=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及圓周角定理等知識(shí)，難度適中．　23．（2013?日照）問題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A在⊙O上，∠ACD=30176。，B為弧AD的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為　2?。?）知識(shí)拓展：如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45176。，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱最短路線問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】（1）找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和CD的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′，再過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長(zhǎng)即為所求．【解答】解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，且等于AE．作直徑AC′，連接C′E．根據(jù)垂徑定理得=．∵∠ACD=30176。，∴∠AOD=60176。，∠DOE=30176。，∴∠AOE=90176。，∴∠C′AE=45176。，又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90176。，∴∠C′=∠C′AE=45176。，∴C′E=AE=AC′=2，即AP+BP的最小值是2．故答案為：2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連結(jié)BB′．∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM=∠BAM，在△B′AM和△BAM中，∴△B′AM≌△BAM（SAS），∴BM=B′M，∠BMA=∠B′MA=90176。，∴點(diǎn)B與點(diǎn)B′關(guān)于直線AD對(duì)稱．過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段B′F的長(zhǎng)即為所求．（點(diǎn)到直線的距離最短） 在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45176。，AB′=AB=10，∴B′F=AB′?sin45176。=AB?sin45176。=10=5，∴BE+EF的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P位置是解題關(guān)鍵．　24．（2012?蘇州）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x=時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】計(jì)算題．【分析】（1）由直線l與圓相切于點(diǎn)A，且AB為圓的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再由一對(duì)直角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長(zhǎng)代入求出PA的長(zhǎng)，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出PB的長(zhǎng)；（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點(diǎn)E，由垂徑定理得到E為PD的中點(diǎn)，再由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等，可得出EC=OA=2，用PC﹣EC的長(zhǎng)表示出PE，根據(jù)PD=2PE表示出PD，再由PC﹣PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關(guān)于x的二次函數(shù)，配方后根據(jù)自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出所求式子的最大值及此時(shí)x的取值．【解答】解：（1）∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，且AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=90176。，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90176。，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC?AB，∵PC=，AB=4，∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；（2）過O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90176。，∴四邊形OACE為矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x=3時(shí)，PD?CD的值最大，最大值是2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．　第31頁（共31頁）